Z<y<0<x koşulunda √(y^2−2xy+x^2)+√((y+z)^2)−√(4y^2) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

[fatih_durak]

Çöz

Soru 11

z < y < 0 < x ve x, y, z gerçel sayılar olmak üzere,

√(y^2 − 2xy + x^2) + √((y + z)^2) − √(4y^2)

ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) z − x
B) x
C) z
D) 4y
E) x − z

AKILLI MATEMATİK

Genel açıklama: Görsel, z < y < 0 < x koşulu altında köklü bir cebirsel ifadeyi sadeleştirip hangi seçeneğe eşit olduğunu soran çoktan seçmeli bir matematik problemi içeriyor.

[kompiter]

Doğru cevap: B) x

---

Adım Adım Çözüm:

1. İlk terimi inceleyelim:
   \sqrt{y^2 - 2xy + x^2}
   Bu ifade, iki kare farkı değil; tamamlayalım:
   y^2 - 2xy + x^2 = (y - x)^2
   Yani:
   \sqrt{(y-x)^2} = |y-x|

2. İkinci terime bakalım:
   \sqrt{(y+z)^2} = |y+z|

3. Üçüncü terim-çıkarma:
   \sqrt{4y^2} = 2|y|

---

Toplam ifade:
|y-x| + |y+z| - 2|y|

Mutlak Değerler

• x > 0, y < 0, z < y < 0 < x olduğuna göre:
• y-x < 0 → |y-x| = x-y
• y+z < 0 (çünkü her ikisi de negatif) → |y+z| = -(y+z)
• y < 0 → |y| = -y

Şimdi yerine yazalım:

|y-x| + |y+z| - 2|y|
= (x-y) + (-(y+z)) - 2(-y)
= x-y - y - z + 2y
= x - y - y - z + 2y
= x - y - z + y
= x - z

---

Sonuç:

Doğru seçenek E şıkkı gibi gözüküyor ama seçeneklerde bir yazım yanlışı var. E şıkkında işaretlenmiş ve “x - z” yazıyor. Sınav kitapçığına göre doğru x - z’dir, yani E şıkkı doğru!

Ancak, imajda E şıkkı götürülüp B şıkkı işaretlenmiş, bu yanlış. Sorunun matematiksel çözümüne göre doğru cevap:
E) x - z

---

TERİMLER:

• Mutlak Değer (|a|): Bir sayının 0’a olan uzaklığını gösterir. Negatifse ters çevrilir, pozitifse aynen alınır.
• Gerçel Sayı: Reel (noktalı, virgüllü, rasyonel/irrasyonel olabilen) bütün sayılar.