a ve b birbirinden ve sıfırdan farklı gerçek sayılardır.
\frac{x+2a}{a}-\frac{x-2b}{b}=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}+4
olduğuna göre, x kaçtır?
Seçenekler:
A) -1
B) 1
C) a
D) b
E) a.b
Verilen denklemin çözümünü bulmak için, öncelikle eşitliğin her iki tarafını da a ve b’nin çarpımı olan ab ile çarpmamız gerekmektedir. Bu işlem, bölme işlemi yerine çarpma işlemi yapmamızı sağlayacağı için daha rahat işlem yapmamıza olanak sağlar. Operatörleri ayrı olarak çarparsak:
ab(\frac{x+2a}{a}-\frac{x-2b}{b}) = ab (\frac{1}{b}-\frac{1}{a} + 4)
Bu işlem sonucunda, a ve b’ni birbirine bölmemiz gerekecek terimler iptal olacak ve denklemimizi daha basit hale getirebileceğiz:
xb+2ab^2 - xa + 2ab = b - a + 4ab
Bu noktada, x’in katsayıları olan a ve b’yi bir tarafa alıp, diğer tüm terimleri eşitliğin diğer tarafına alırsak:
xb - xa = -2ab^2 + 2ab + a - b - 4ab
Bunu daha da sadeleştirelim:
x(b - a) = -2ab^2 + 2ab + a - b - 4ab \\
x(b - a) = a - b - 2ab(a + 2) \\
x = \frac{-(a - b - 2ab(a + 2))}{b - a}
Kendimize hatırlatmamız gereken bir husus, a ve b’nin birbirine ve sıfıra eşit olmadığıdır. Bu yüzden, eşitliğin payında ve paydasındaki işaretleri değiştirerek denklemi çözebiliriz:
x = \frac{b - a + 2ab(a + 2)}{a - b} \\
x = \frac{b - a + 2ab^2 + 4ab}{a - b}
Bu durumda x, şu şekilde çıkar:
x = \frac{-1(a - b + 2ab^2 + 4ab)}{-1(a - b)} \\
x = \frac{a - b + 2ab^2 + 4ab}{b - a} \\
Sonuç olarak, x değerini bulmuş oluyoruz:
x = \frac{a + 2ab - b + 4ab}{b - a}
Bu cevabı, mümkün olduğu kadar anlaşılabilir hale getirdim. Bilinmeyen bir kelime veya ifade varsa, lütfen hangisini anlamadığınızı söyleyin ve size daha fazla açıklama yapmak için elimden geleni yapacağım.
TERİMLER:
Katsayı: Bir matematiksel terimin çarpanlarından birisi olan sayıdır. Örneğin 3x ifadesinde x’in katsayısı 3’tür. Ayrıca katsayı, genellikle bir bilinmeyene eşlik eder ve eğer belirtilmezse genellikle 1 olarak kabul edilir.
Terim: Genellikle bir işlemin sonucunun belirli bir parçasıdır. Örneğin, 3x+5 ifadesinde 3x ve 5 birer terimdir. Bir denklem, genellikle birden çok terim içerir.
Eşitlik: İki ifadenin birbirine eşit olduğunu belirten matematiksel bir ifadedir. Bir eşitliğin her iki tarafı da eşittir, bu da bir eşitliğin çözümünün her iki tarafını da etkileyen bir işlem yapabileceğimiz anlamına gelir.
Çözüm:
Denklemin her iki tarafını b ile çarparsak,
b(x+2a)-a(x-2b)=b-a+4b
olur. Bu denklemi düzenlersek,
(b-a)x=-2ab+3a+4b
elde ederiz. Denklemin her iki tarafını da (b-a) ile bölersek,
x=\frac{-2ab+3a+4b}{b-a}
buluruz.
a ve b birbirinden ve sıfırdan farklı gerçek sayılar olduğundan, b-a ≠ 0’dır. Bu nedenle, x’i bulmak için paydaki ifadeyi sadeleştirebiliriz.
Paydaki -2ab ve 4b terimlerini toplayabiliriz:
-2ab+4b=-2b(a-2)
3a ve -2b(a-2) terimlerini toplayabiliriz:
3a-2b(a-2)=3a-2ab+4b
Bu son ifadeyi paydada yerine koyarsak,
x=\frac{3a-2ab+4b}{b-a}
elde ederiz.
Bu ifadeyi faktörize edersek,
x=\frac{(3a+4b)(1-2b)}{b-a}
buluruz.
a ve b birbirinden ve sıfırdan farklı gerçek sayılar olduğundan, 1-2b ≠ 0’dır. Bu nedenle, x’i bulmak için paydaki ifadeyi sadeleştirebiliriz.
1-2b ≠ 0 olduğundan, x’in değeri
x=\frac{3a+4b}{b-a}
olur.
Seçenekleri kontrol edelim:
A) x = -1: Bu değeri denklemde yerine koyarsak,
\frac{-1+2a}{a}-\frac{-1-2b}{b}=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}+4
olur. Bu denklemi çözdüğümüzde, a = -b ve b = -a olduğunu buluruz. Bu, a ve b’nin birbirinden farklı olmasıyla çelişir.
B) x = 1: Bu değeri denklemde yerine koyarsak,
\frac{1+2a}{a}-\frac{1-2b}{b}=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}+4
olur. Bu denklemi çözdüğümüzde, a = b ve b = a olduğunu buluruz. Bu, a ve b’nin birbirinden farklı olmasıyla çelişir.
C) x = a: Bu değeri denklemde yerine koyarsak,
\frac{a+2a}{a}-\frac{a-2b}{b}=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}+4
olur. Bu denklemi çözdüğümüzde, b = 2a olduğunu buluruz. Bu durumda,
x=\frac{3a+4b}{b-a}=\frac{3a+8a}{2a-a}=7
olur.
D) x = b: Bu değeri denklemde yerine koyarsak,
\frac{b+2a}{a}-\frac{b-2b}{b}=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}+4
olur. Bu denklemi çözdüğümüzde, a = 2b olduğunu buluruz. Bu durumda,
x=\frac{3a+4b}{b-a}=\frac{6b+4b}{2b-b}=5
olur.
E) x = a.b: Bu değeri denklemde yerine koyarsak,
\frac{a.b+2a}{a}-\frac{a.b-2b}{b}=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}+4
olur. Bu denklemi çözdüğümüzde, a = b ve b = a olduğunu buluruz. Bu, a ve b’nin birbirinden farklı olmasıyla çelişir.
Sonuç olarak, x’in değeri 7 veya 5 olabilir. Bu nedenle, doğru cevap C) a veya D) b’dir.