P(b - a) kaça eşittir?

Resimli sorular
, ,
1

17035359593433323512185085535521
170353595934333235121850855355211920×2560 124 KB

ÖRNEK 5:

P(x) bir polinom fonksiyondur. x² • P(x) = x³ + (b - 2)x + 2a - 2 olduğuna göre, P(b - a) kaçtır?

A) -8
B) -1
C) 1
D) 8
E) 27

2

Öncelikle verilen denklemi çözelim:

x² • P(x) = x³ + (b - 2)x + 2a - 2

Bu denklemi daha kolay anlamak için her bir terimi ayrı ayrı ele alalım:

x² • P(x) = x³ + (b - 2)x + (2a - 2)

P(b - a) ifadesini hesaplamak için, P(x)'i P(b - a)'ya yerleştirelim:

(b - a)² • P(b - a) = (b - a)³ + (b - 2)(b - a) + (2a - 2)

Şimdi her bir terimi çarpalım:

(b - a)² • P(b - a) = (b - a)³ + (b² - ab - 2b + 2a) + (2a - 2)

(b - a)³ ifadesini açalım:

(b - a)³ = b³ - 3b²a + 3ba² - a³

Bu ifade ve diğer ifadeleri toplayalım:

(b - a)² • P(b - a) = b³ - 3b²a + 3ba² - a³ + b² - ab - 2b + 2a + 2a - 2

Birleştirelim ve sadeleştirelim:

(b - a)² • P(b - a) = b³ - 2b²a + 3ba² - a³ + b² - 3ab - 2b + 4a - 2

Son adımda b² ve -ab terimleri ile sadeleştirelim:

(b - a)² • P(b - a) = b³ - 2b²a + b² - 3ab + 3ba² - a³ - 2b + 4a - 2

Artık bu ifadeyi daha yakından inceleyebiliriz. Şimdi P(b - a)'yı bulmak için denklemdeki terimleri toplayalım:

P(b - a) = (b³ - 2b²a + b² - 3ab + 3ba² - a³ - 2b + 4a - 2) / (b - a)²

P(b - a) = (b³ - a³ - 2b²a + b² - 2b + 4a + 3ba² - 3ab - 2) / (b - a)²

P(b - a) = (b³ - a³ - 2b²a + b² - 3ab + 3ba² - 2b + 4a - 2) / (b - a)²

Burada dikkat ederseniz (b³ - a³) terimi bir kenara düşüyor, çünkü b³ - a³ ifadesi (b - a)(b² + ab + a²) şeklinde faktörleştirilebilir ve paydada (b - a) terimi olduğundan sadeleştirme yapıldığında bu terim çıkacaktır.

Şimdi kalan terimleri sadeleştirelim:

P(b - a) = b² - 2ba + a² - 2b²a + b² - 3ab + 3ba² - 2b + 4a - 2 / (b - a)²

Sadeleştirelim:

P(b - a) = (2b²a - 6ba + 4a - 2) / (b - a)²

Son adımda bu ifadeyi daha da sadeleştirebiliriz:

P(b - a) = 2(a - 1) / (b - a)

Sonuç olarak, P(b - a) = 2(a - 1) / (b - a)

Daha önceki denklemden, x² • P(x) = x³ + (b - 2)x + 2a - 2 olduğunu biliyorduk. Dolayısıyla b - a = 1 olduğunda P(b - a) ifadesi sıfır olacaktır.

O halde, P(b - a) = 2(a - 1) / (b - a) = 2(a - 1) / 1 = 2(a - 1)

Bu durumda, P(b - a) kaça eşittir?

A) -8
B) -1
C) 1
D) 8
E) 27

Cevap: C) 1

3

x = b - a yerine koyarsak,
(b - a)² • P(b - a) = (b - a)³ + (b - 2)(b - a) + 2a - 2
P(b - a) = (b - a)² + (b - 2)(b - a) + 2a - 2
= b² - 2ab + a² - b² + 2b - 2a + 2a - 2
= 2b - 4a - 2
= (2 - 4a)b - 2
Cevap C dir.