- \sqrt[3]{\sqrt{5} + 1} \cdot \sqrt[6]{\sqrt{5} + 1} \cdot \sqrt{\sqrt{5} - 1} işleminin sonucu kaçtır?
A) 1
B) 2
C) \sqrt{5}
D) 2\sqrt{5}
E) 5
Verilen İfade ve Doğru Cevabı Belirleme
Alttaki ifade incelendiğinde:
\sqrt[3]{\sqrt{5} + 1} \cdot \sqrt[6]{\sqrt{5} + 1} \cdot \sqrt{\sqrt{5} - 1}
Bu ifadenin sonucunu bulmamız isteniyor. Doğru cevabın ne olduğunu belirlemek için verilen ifadeyi önce basitleştirmeliyiz.
İfadelerin Dönüşümü ve Basitleştirme
İfadeye ayrı ayrı bakalım:
- \sqrt[3]{\sqrt{5} + 1}: İlk ifade, (\sqrt{5} + 1)^{1/3} şeklinde ifade edilebilir.
- \sqrt[6]{\sqrt{5} + 1}: İkinci ifade, (\sqrt{5} + 1)^{1/6} şeklinde ifade edilebilir.
- \sqrt{\sqrt{5} - 1}: Üçüncü ifade (\sqrt{5} - 1)^{1/2} şeklinde ifade edilebilir.
Bu ifadeleri birleştirerek daha büyük bir ifadeye dönüşebiliriz:
(\sqrt{5} + 1)^{1/3} \cdot (\sqrt{5} + 1)^{1/6} \cdot (\sqrt{5} - 1)^{1/2}
İfadelerin Özdeşleşmesi
İlk iki ifadeyi, tabanları aynı olduğu için çarptıklarında, üsler toplanır:
(\sqrt{5} + 1)^{1/3 + 1/6}
Burada 1/3 ve 1/6 toplandığında, ortak payda alınır:
1/3 = 2/6 \\ 1/6 = 1/6 \\ 1/3 + 1/6 = 3/6 = 1/2
Bu durumda, ifademiz şu hale gelir:
(\sqrt{5} + 1)^{1/2} \cdot (\sqrt{5} - 1)^{1/2}
Bu ifade de bir özdeşleşmeye gider ve:
\left((\sqrt{5} + 1) \cdot (\sqrt{5} - 1)\right)^{1/2}
\sqrt{5} + 1 ve \sqrt{5} - 1 ifadelerinin çarpımı bir farklı iki kare özdeşliğine dönüşebilir:
(\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4
Bu durumda:
4^{1/2} = \sqrt{4} = 2
Doğru Cevap
Dolayısıyla, ifadenin sonucu 2’dir. Doğru cevap seçeneği B) 2’dir.
Diğer Seçenekler ve Neden Yanlış Oldukları
A) 1
Bu sonuç ifade edilirse, işlemin sonucunun herhangi bir biçimde 1 olmasını gerektirecek uygun bir dönüşüm veya başka özel bir durum gerektirir, fakat burada buna benzer bir durum yok.
C) \sqrt{5}
İşlemin sonucunun \sqrt{5} olması için, ara sonuçların veya özdeşliklerin bu sonucu vermesi gerekirdi. Çözüm işlemi sırasında böyle bir sonucu yoktur.
D) 2\sqrt{5}
Bu sonuç, genellikle bazı basit çarpım veya faktörlerin birleşimiyle ortaya çıkabilir, ancak bu durumda işlem sırasında böyle bir hesaplamaya rastlanmadı.
E) 5
Bu sonuç \sqrt{5} + 1 ya da benzer bir faktör üzerinden geçmeyen bir çarpım gerektirir; ancak bu durumda bu tür bir sonuç sağlamıyor.
TERİMLER:
Farklı iki kare özdeşliği: (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 şeklinde bir ifadedir; iki terimin toplamı ve farkının çarpımı, bu iki terimin karelerinin farkına eşittir.
Problemi Çözme Adımları
Verilen işlemi basitleştirmek için kökleri aynı tabana getirmeli ve çarpım kuralını kullanmalıyız.
1. Kökleri Aynı Tabana Getirme:
- \sqrt[3]{\sqrt{5} + 1} = (\sqrt{5} + 1)^{1/3}
- \sqrt[6]{\sqrt{5} + 1} = (\sqrt{5} + 1)^{1/6}
- \sqrt{\sqrt{5} - 1} = (\sqrt{5} - 1)^{1/2}
2. Çarpım Kuralını Kullanma:
- (\sqrt{5} + 1)^{1/3} \cdot (\sqrt{5} + 1)^{1/6} \cdot (\sqrt{5} - 1)^{1/2} = (\sqrt{5} + 1)^{(1/3 + 1/6)} \cdot (\sqrt{5} - 1)^{1/2}
- Üsleri toplarsak: (\sqrt{5} + 1)^{1/2} \cdot (\sqrt{5} - 1)^{1/2}
3. Çarpımın Karesi Farkı Kimliği:
- (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 kuralını kullanırsak:
- (\sqrt{5} + 1)^{1/2} \cdot (\sqrt{5} - 1)^{1/2} = (\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4
Sonuç:
Verilen işlemin sonucu 4’tür.
Cevap:
\sqrt[3]{\sqrt{5} + 1} \cdot \sqrt[6]{\sqrt{5} + 1} \cdot \sqrt{\sqrt{5} - 1} = 4
Bu sonuca ulaşmak için köklerin özelliklerini ve çarpımın karesi farkı kimliğini kullandık.
Not: Bu tür sorularda kökleri aynı tabana getirmek ve üsleri toplamak/çıkarmak önemlidir. Ayrıca, çarpımın karesi farkı gibi özdeşlikler de sıkça kullanılmaktadır.
Ek Bilgiler:
- Köklerin Özellikleri:
- \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}
- (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}
- Çarpımın Karesi Farkı:
- (a+b)(a-b) = a^2 - b^2
Bu bilgileri kullanarak benzer soruları da çözebilirsiniz.
Başka sorularınız varsa lütfen çekinmeden sorun.