Bir sayının 3 katının 2 fazlasının 4/1 ile bu sayının yarısı toplandığında, aynı sayının 2 katının 3 eksiğinin 3/1 elde ediliyor. Buna göre bu sayının 7 katı kaçtır?

Eğitim ve Öğretim Matematik
1

Bir sayının 3 katının 2 fazlasının 4/1 ile bu sayının yarısı toplandığında, aynı sayının 2 katının 3 eksiğinin 3/1 elde ediliyor. Buna göre bu sayının 7 katı kaçtır?

2

Sorunun Çözümü

Bu problem bize bir denklem kurma ve çözme işlemi gerektiren bir problemdir. Adım adım ilerleyerek sorunu çözelim.

Denklemin Kurulması

  1. Bir sayının 3 katının 2 fazlası:

    • Sayıya x diyelim.
    • Sayının 3 katının 2 fazlası: 3x + 2.

  2. Bu sayının yarısı:

    • Sayının yarısı: \frac{x}{2}.

  3. Bu ifadelerin 4 ile ve 3 ile oranlanması:

    • 3x + 2 ifadesini 4 ile oranladığımızda: \frac{3x + 2}{4}.
    • \frac{x}{2} ifadesini 1 ile oranladığımızda (bu durumda ifade değişmez).

  4. Bu iki oranın toplandığında:

    • \frac{3x + 2}{4} + \frac{x}{2}.

  5. Bu sonucun aynı sayının 2 katının 3 eksildiğinde ve 3 ile oranlandığında eşit olduğu durumu:

    • Sayının 2 katı: 2x.
    • 2x - 3 ifadesini 3 ile oranladığımızda: \frac{2x - 3}{3}.

Denklemin Çözülmesi

Bu ifadelerin birbirine eşit olduğu durumu ifade eden denklemi yazalım:

\frac{3x + 2}{4} + \frac{x}{2} = \frac{2x - 3}{3}

Bu denklemi çözerek x'i bulalım. Esitliği sağlamak için önce paydalardan kurtulmamız gerekecek:

\frac{3x + 2}{4} + \frac{x}{2} = \frac{2x - 3}{3}

Önce \frac{x}{2} ifadesini \frac{2}{2} ile genişletelim:
\frac{3x + 2}{4} + \frac{2x}{4} = \frac{2x - 3}{3}

Sol tarafı birleştirelim:
\frac{3x + 2 + 2x}{4} = \frac{2x - 3}{3}
\frac{5x + 2}{4} = \frac{2x - 3}{3}

Denklemden kurtulmak için her iki tarafı 12 ile çarpalım (en küçük ortak kat olduğu için):

12 \cdot \frac{5x + 2}{4} = 12 \cdot \frac{2x - 3}{3}
3(5x + 2) = 4(2x - 3)

Bu ifadeleri dağıtalım:

15x + 6 = 8x - 12

Denklemin iki tarafındaki benzer terimleri toplayalım:

15x - 8x + 6 = -12 \implies 7x + 6 = -12 \implies 7x = -18 \implies x = -\frac{18}{7}

Sayının 7 Katı

Bize sorulan, bu sayının 7 katıdır:

7 \cdot x = 7 \cdot -\frac{18}{7} = -18

Sonuç olarak, bu sayının 7 katı:

\boxed{-18}

Sonuç

Denklemin Adımları ve Neden Doğru Olduğu

  1. Bir sayının 3 katının 2 fazlası: 3x + 2 ifadesi, bir sayının üç katının üzerine 2 sayısının eklenmesi anlamına gelir.
  2. Bu sayının yarısı: \frac{x}{2} ifadesi, sayıyı ikiye bölmek anlamına gelir.
  3. Toplama ve oranlama işlemleri: Bu işlemler kullanılarak bir denklem ortaya çıkarılması, ifadelerin belirtilen oranlarını ve toplamalarını içerir.
  4. Eşitliğin sağlanması: Elde edilen iki ifadenin birbirine eşit olması gerektiği, verilen problem ifadesinin temelidir.
  5. Denklemin çözülmesi ve sadeleştirilmesi: Matematiksel işlemler ve sadeleştirmeler yoluyla bağımsız değişkenin (x’in) değeri elde edilir.

Diğer Seçeneklerin Analizi

Problem doğru bir şekilde analiz edilip çözüldüğünden ve verilen bilgiler doğru bir biçimde kullanıldığından başka seçenekler veya sonuçlar dikkate alınmalı değildir. Denklem ve soru yapısına uygun tüm adımlar izlenmiştir.

TERİMLER:

Denklem: Bir ya da birden fazla bilinmeyen içeren matematiksel ifadeler arasındaki eşitlik.

Oranlama: İki sayının birbirine bölüm ile ifade edilmesi.

Sadeleştirme: Matematiksel ifadelerdeki ortak çarpanları ayıklayarak daha basit hale getirme işlemi.

3

Soruyu Çözelim

Soruyu matematiksel bir ifadeye çevirelim:

  • **“Bir sayı”**nı x ile gösterelim.
  • “Bir sayının 3 katının 2 fazlası” ifadesi matematiksel olarak 3x + 2 şeklinde yazılır.
  • “Bu sayının yarısı” ise x/2 şeklinde yazılır.
  • “Aynı sayının 2 katının 3 eksiği” ise 2x - 3 şeklinde yazılır.

Soruda verilen ifadeye göre şu denklemi kurabiliriz:

(3x + 2) / 4 + x/2 = (2x - 3) / 3

Denklemi çözelim:

Öncelikle paydaları eşitleyelim. Tüm paydaları 12 ile çarparsak:

3(3x + 2) + 6x = 4(2x - 3)

Dağılma özelliğini kullanarak parantezleri açalım:

9x + 6 + 6x = 8x - 12

Benzer terimleri bir araya getirelim:

15x + 6 = 8x - 12

x’li terimleri sol tarafta, sabit sayıları sağ tarafta toplayalım:

15x - 8x = -12 - 6

7x = -18

Her iki tarafı 7’ye bölersek:

x = -18/7

Bu durumda, aradığımız sayı -18/7’dir.

Sorunun son kısmına göre, bu sayının 7 katını bulalım:

(-18/7) * 7 = -18

Cevap: Bu sayının 7 katı -18’dir.

Not: Çıkan sonuç negatif bir tam sayıdır. Bu, başlangıçta verilen sorunun koşullarına uygun bir sonuçtur.

Özetle: Verilen soruyu matematiksel bir denkleme dönüştürerek ve bu denklemi çözerek, aradığımız sayıyı ve bu sayının 7 katını bulduk.