Problem 7: (2x+1)^4 \cdot (x-2)^5 işleminin sonucunda oluşacak x^8 teriminin katsayısı
Bu problemde,
İşlem Adımları
- Binom açılımını kullanarak (2x+1)^4 ve (x-2)^5 terimlerini açmamız gerekmektedir.
- Terimleri çarpacağız ve x^8 terimini bulacağız.
(2x+1)^4 Binom Açılımı
(2x+1)^4 açılımı şu şekilde yazılabilir:
$$ (2x+1)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (2x)^k (1)^{4-k} = \binom{4}{0} (2x)^0 1^4 + \binom{4}{1} (2x)^1 1^3 + \binom{4}{2} (2x)^2 1^2 + \binom{4}{3} (2x)^3 1^1 + \binom{4}{4} (2x)^4 1^0 $$
$$ = 1 + 4(2x) + 6(4x^2) + 4(8x^3) + 16x^4 $$
$$ = 1 + 8x + 24x^2 + 32x^3 + 16x^4 $$
(x-2)^5 Binom Açılımı
Aynı şekilde (x-2)^5 açılımı şu şekilde yazılabilir:
$$ (x-2)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (x)^k (-2)^{5-k} $$
$$ = \binom{5}{0} x^0 (-2)^5 + \binom{5}{1} x^1 (-2)^4 + \binom{5}{2} x^2 (-2)^3 + \binom{5}{3} x^3 (-2)^2 + \binom{5}{4} x^4 (-2)^1 + \binom{5}{5} x^5 (-2)^0 $$
$$ = -32 + 80x - 80x^2 + 40x^3 - 10x^4 + x^5 $$
x^8 Terimi için Katsayının Hesaplanması
Şimdi, (2x+1)^4 ve (x-2)^5 açılımlarında bu terimleri çarparak x^8 terimini bulmamız gerekiyor. x^8 terimi şu şekilde elde edilir:
(2x+1)^4 terimleri:
1, 8x, 24x^2, 32x^3, 16x^4
(x-2)^5 terimleri:
-32, 80x, -80x^2, 40x^3, -10x^4, x^5
Çarpma işlemi ile x^8 terimi için (16x^4 * x^4) elde edilecektir.
Bu nedenle:
$$ 16 * (-10) = -160 $$
Bu x^8 teriminin katsayısı olacaktır.
Sonuç
A) -128
B) -44
C) 8
D) 12
Doğru Cevap: B) -160
Problem 8: (x-2y)^n açılımında ortanca terim A.x^3.y^b ise A kaçtır?
İşlem Adımları
- Binom açılımını (x-2y)^n için kullanarak ortanca terimi belirlemeliyiz.
- Ortanca terimin değeri A.x^3.y^b olduğunu biliyoruz. Bu değerleri ve katsayıyı belirlemeliyiz.
Binom Açılımı ve Ortanca Terim
Binom açılımı genelde şu şekildedir:
$$ (x-2y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (x)^{n-k} (-2y)^{k} $$
Ortanca terim:
Eğer n çift sayıysa, ortanca terim iki terimden oluşur. n tek sayı sayılırsa tam ortadaki terim belirlenir.
Ortalama olarak şunu elde ederiz:
x kuvveti 3 olduğuna göre n-k=3, Buradan:
$$ k = n-3 $$
Problemin Çözülmesi
Orta terimi bulmak için k değerini kullanılır:
$$ T_k = \binom{n}{k} x^{n-k} (-2y)^k $$
Burada x^3 y^b olması için n-k=3 ve k’ yı bulmamız gerekir.
$$ n=8 \rightarrow ve (k=5) $$
Kataliz değerini belirlemek için:
\binom{8}{5}\cdot (-2)^{k}
Sonuç
A) -480
B) -160
C) -84
D) 120
Doğru Cevap: B) -960
Terimler:
Binom açılımı: İki terimli yani binom olarak da geçen ve açılımında kullanılması karşılanır.
