Y - x = 1 olmak üzere, $(x + 1)^3 + 3(x + 1)^2 + 3(x + 1) + 1$ ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?

Eğitim ve Öğretim Matematik
,
1

17250905055228415336495155592543
172509050552284153364951555925431920×2560 85.9 KB

y - x = 1 olmak üzere,

(x + 1)^3 + 3(x + 1)^2 + 3(x + 1) + 1

ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?

A) x + 1
B) x + y
C) y + 2
D) (y + 1)^2
E) (y - 1)^2

Bu resim, bir matematik sorusu içermektedir. Soruda y - x = 1 ifadesinin, verilen polinom ifadesinin çarpanlarından biri olup olmadığı sorulmaktadır. Yanıt seçenekleri olarak beş farklı ifade verilmiştir.

2

Problemin Çözümü

Verilen Denklem ve İfade

  • Öncelikle y - x = 1 denklemine sahibiz.
  • Araştırmamız gereken ifade: (x + 1)^3 + 3(x + 1)^2 + 3(x + 1) + 1

İfadenin İncelenmesi

İfadeyi dikkatli incelediğimizde, bu ifadenin binom açılımı formunda olduğunu fark ederiz. Eğer (a + b)^3 binom açılımına bakarsak, aşağıdaki gibi olduğunu görebiliriz:

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Bizim ifadede ise (x+1)'nin bu açılıma bire bir uyan bir yapıya sahip olduğunu görüyoruz:
(x + 1)^3 + 3(x + 1)^2 + 3(x + 1) + 1.

Bu ifadenin açılımına baktığımızda:

(x + 1 + 1)^3 = x + 1 + 1 = (x + 2)^3

Bu durumda ifade kısaca (x + 2)^3 olarak yazılabilir. Şimdi bu ifadeyi çarpanlarına ayırdığımızda, (x + 2)'nin küpü olduğunu görürüz.

Verilen Denklem ve İfade İlişkisi

Y - x = 1 denkleminden hareket edelim:
y = x + 1

Bu durumda, çarpanları kontrol edelim:

Alternatiflerin İncelenmesi

A) x + 1

Bu çarpan (x+2)^3 ifadesinin bir çarpanı değildir. Dolayısıyla yanlış.

B) x + y

Eğer y = x + 1, bu denklem x + (x + 1) = 2x + 1 olur ki bu da (x+2)^3 ifadesinin bir çarpanı değildir. Dolayısıyla yanlış.

C) y + 2

Eğer y = x + 1'den yola çıkarsak, (x + 1) + 2 = x + 3 olur. Bu da (x + 2)^3 ifadesinin bir çarpanı değildir. Dolayısıyla yanlış.

D) (y + 1)^2

Eğer y = x + 1'den yola çıkarsak, (x + 1 + 1)^2 = (x + 2)^2 olur. Bu da (x + 2)^3 ifadesinde çarpanında var olan ifadedir.

E) (y - 1)^2

Eğer y = x + 1'den yola çıkarsak, (x + 1 - 1)^2 = x^2 olur. Bu da (x + 2)^3 ifadesinin bir çarpanı değildir. Dolayısıyla yanlış.

Doğru Cevap

Analizimiz sonucu doğru cevap:
D) (y + 1)^2

Bu seçim doğru bir şekilde (x + 2)^3 ifadesinin bir çarpanı olarak karşımıza çıkmaktadır.

Sonuç:

(x + 1)^3 + 3(x + 1)^2 + 3(x + 1) + 1 ifadesinin çarpanlarından biri (y + 1)^2'dir ve doğru seçenek D’dir.

TERİMLER:

Binom Açılımı: Binom açılımı, (a + b)^n ifadesini açmak için kullanılan matematiksel formüldür.
Çarpanlarına Ayırma: Bir ifadenin daha küçük ifadeler çarpanlarına ayrılması işlemidir, özellikle polinomlar için kullanılır.