Buna göre, x + y kaç birimdir?
ABC üçgeninde;
- A = 90°
- D = 90°
- [AB] ┴ [AC]
- [AD] ┴ [BC]
- | AC | = 4 birim
- | BC | = 5 birim
- | AB | = y birim
- | AD | = x birim
Seçenekler:
A) 2,4
B) 3
C) 4
D) 5,4
E) 6
ABC Üçgeninin Analizi
ABC üçgeni bir dik üçgendir. Bu, AB ve AC arasındaki açının 90° olduğu anlamına gelir. Ayrıca, üçgenin iç bölgesine çizilen bir dikme ile AD dikmesi oluşturulmuştur.
Verilenler:
- | AC | = 4 birim
- | BC | = 5 birim
- | AD | = x birim
- | AB | = y birim
Bu bilgiler doğrultusunda, iki adet dik üçgen oluştuğunu görüyoruz. Bunlar ΔABC ve ΔABD’dir. Ayrıca AD ve BD’nin toplamının AB’yi verdiğini unutmayınız.
AD Alanının Hesaplanması
Dik üçgenlerde, dikme çizildiğinde katetlerin işaretlediği uzunluklar hipotenüsün boyunu verir. Yani |AB| = |AD| + |DB|. Buradan |AD|'yi bulabiliriz. Önce |BD|'yi bulmamız gerekiyor. Bunun için Pisagor teoremini kullanabiliriz.
Pisagor Teoremi:
|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 olan bir teorem. Donusum yaparsak, |AB| = √(|BC|^2 - |AC|^2)
|BD| = √(|BC|^2 - |AC|^2)
|BD| = √((5 birim)^2 - (4 birim)^2)
|BD| = √(25 birim^2 - 16 birim^2)
|BD| = √(9 birim^2)
|BD| = 3 birim
Bulduğumuz |BD|'yi |AB| eşitliğine yerine koyarak, |AD|'yi buluruz.
|AB| = |AD| + 3 birim
y birim = x birim + 3 birim
Bu durumda x birimlerinin toplamı y - 3 olacaktır.
Sonuç olarak x + y = (y - 3) + y = 2y - 3 birimdir. Bu seçeneklerimiz arasında yok.
Amyi seçenekleri kullanarak değerlendireceğimiz için bu denklem uygun değil. İkinci dik üçgendeki olan biteni incelemeliyiz.
Trigonometrik İlişkiler:
Dik üçgenlerde trigonometrik işlemler büyük kolaylık sağlar. Bu durumda, |AC| ve |BC|'nin oranı (4 birim / 5 birim) tan(A) değerini verir.
tan(A) = |AC| / |BC|
tan(A) = 4 birim / 5 birim
tan(A) = 0.8
A’daki açının tanjant değeri 0.8’dir. A’nın eşdeğer olduğu D’deki açının da tanjant değeri aynıdır, yani 0.8’dir.
tan(D) = 0.8 - bu durumda |AD| / |BD| = 0.8
|AD|= 0.8 * |BD|
|AD|= 0.8 * 3 birim
|AD|= 2.4 birim
x = 2.4 birim oluyor.
Y Alanının Hesaplanması
Y değerini bulmak için Pisagor teoremine geri dönmemiz gerekiyor.
|AB|= √(|BC|^2 - |AC|^2)
y birim = √((5 birim)^2 - (4 birim)^2)
y birim = √(25 birim^2 - 16 birim^2)
y birim = √(9 birim^2)
y = 3 birim
Sonuçta, x = 2.4 birim ve y = 3 birim.
Sonuç
x değerini ve y değerini bulduk. Şimdi toplamaları gerekiyor.
x + y = 2.4 birim + 3 birim = 5.4 birim. Bu nedenle, (D) seçeneği doğru yanıttır.
TERİMLER:
Dik Üçgen: İçerisinde bir 90 derecelik açı olan üçgenlere denir.
Hipotenüs: Dik üçgenlerde 90 derecelik açının karşısındaki kenara denir.
Katet: Dik üçgenlerde hipotenüs dışında kalan iki kenardan her birine denir.
Pisagor Teoremi: Bir dik üçgenin hipotenüsünün karesinin, diğer iki kenarının karelerinin toplamına eşit olduğunu belirten teoremdir.
Trigonometrik İlişkiler: Birim çemberi, dönüş açıları, üçgenler ve eşlik, benzerlik durumları bağlamında trigonometrik oranları tanımlar.
Tanjant: Bir açının sinüs değerinin kosinüs değerine oranıdır.