x ve y gerçel sayılar olmak üzere,
x^2 + 8xy = 60
y^2 - 3xy = -15
olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Bu görsel, iki bilinmeyen içeren cebirsel bir denklem sistemi göstermektedir. Sorulan soru, verilen denklemler çerçevesinde x ve y gerçel sayılarının çarpımının ne olduğudur ve çeşitli seçenekler sunulmuştur.
Verilen denklemler şunlardır:
Bu iki denklemi toplarsak:
x^2 + 8xy + y^2 - 3xy = 60 - 15
x^2 + 5xy + y^2 = 45
Bir sonraki adımda, denklemlerden ikincisini 4 ile çarpıyoruz ve ardından birinci denklemden çıkarıyoruz:
4y^2 - 12xy = -60
Bu denklemleri topladığımızda:
-4y^2 + 12xy = 60 = x^2 + 8xy
x^2 - 4xy + 4y^2 = 0
Eşitliği düzenleyerek faktörlerine ayırabiliriz:
(x - 2y)^2 = 0
Bu durumda,
x = 2y
Birinci denkleme x = 2y değerini yerine koyduğumuzda:
(2y)^2 + 8(2y)y = 60
4y^2 + 16y^2 = 60
20y^2 = 60
y^2 = 3
y = \sqrt{3} (İkinci çözüm y = -\sqrt{3} olabilir, ancak burada sadece pozitif çözüm kullanılmış.)
x = 2y olduğundan ve y = \sqrt{3}:
x = 2 \sqrt{3}
Sonuç olarak x \cdot y değerini hesaplarsak:
x \cdot y = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6
