(4x + 3y²)dx + 2xydy = 0 diferansiyel denklemin genel çözümü aşağıdakilerden hangisidir?

Soru 5

(4x + 3y^2)dx + 2xydy = 0 diferansiyel denklemin genel çözümü aşağıdakilerden hangisidir?

I. x^3 + x^2 y^2 = c

II. x^3 + 2x^2 y^4 = c

III. x^4 + x^3 y^2 = c

IV. x^4 + 2x^3 y^4 = c

O III
O I
O IV
O II


Bu resim, bir diferansiyel denklemin genel çözümünü bulma sorusunu içeren bir matematik sınav sorusunu göstermektedir. Verilen diferansiyel denklem ve bunun olası çözümleri dört şık altında listelenmiştir (I, II, III, IV). Öğrenciden doğru çözümü seçmesi beklenmektedir.

Diferansiyel Denklemin Genel Çözümü ve İncelenmesi

Diferansiyel Denklemi

Verilen diferansiyel denklem:
$$(4x + 3y^2)dx + 2xydy = 0$$

Bu tür diferansiyel denklemler, genellikle bir tam diferansiyel denklemi (exact differential equation) olup olmadığını inceleyerek çözülür.

Bir diferansiyel denklem M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 şeklindeyken M ve N fonksiyonlarının kısmi türevlerinin eşit olup olmadığını kontrol ederek tamlık durumunu kontrol edebiliriz. Yani \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} olup olmadığına bakmalıyız.

M ve N fonksiyonlarımız:

M(x,y) = 4x + 3y^2 \\ N(x,y) = 2xy

Tam Diferansiyel Denklemi Kontrolü

Kısmi türevleri hesaplayalım:

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial (4x + 3y^2)}{\partial y} = 6y \\ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial (2xy)}{\partial x} = 2y

Görüyoruz ki:

6y \neq 2y

Dolayısıyla bu diferansiyel denklem tam diferansiyel değildir.

Denklemlerle Uygun Sonuç

Sonuçların form olduğu verilen ifadeleri göz önüne alırsak, uygun çözüm fonksiyonunu tahminle bulabiliriz.

I. x^3 + x^2 y^2 = c

Bu fonksiyonun türevine bakalım:

\frac{d}{dx}(x^3 + x^2 y^2) = 3x^2 + 2x * y^2 + x^2 * \frac{\partial y^2}{\partial x}

Yukarda açıkça denklemimizdeki ifadelere uymadığını, çünkü dx terimi ile dy terimlerinin eksik olduğunu ve formun yanlış olduğunu görebiliyoruz.

II. x^3 + 2x^2 y^4 = c

Benzer türev hesaplaması için:

\frac{d}{dx}(x^3 + 2x^2 y^4) = 3x^2 + 2 * 2x y^4 + x^2 * \frac{\partial 2y^4}{\partial x}

Bu yine yukarda verilen ifadenine uyduğunu görmüyoruz.

III. x^4 + x^3 y^2 = c

Benzer hesaplama uygulandığı:

\frac{d}{dx}(x^4 + x^3 y^2) \text{ içerisinde } 4x^3 + 3x^2 y^2 + x^4 \text{ denklemi tamamen değil.}

IV. x^4 + 2x^3 y^4 = c

Bu formu kontrol edelim. Bu denklemin tam kısmı "tam diyagramlar “türevi.”

\frac{d}{dx}(x^4 + 2x^3 y^4)

Bu, şu anlaşılan denklemle tam olarak birebir değil.

Sonuç

Verilen seçeneklere baktığımızda, tam çözüm olarak yukardaki listedeki IV. formülüne oldukça ihtimal var. Daha iyi geniş analiz ile çözümdür:

Doğru Cevap: IV. x^4 + 2x^3 y^4 = c

TERİMLER:

Tam Diferansiyel Denklem: Belirli bir denklemin reel kısmı tamamen kısmi entegrali uygun.

Bu işlem genellikle kısmi türev konularının temelidir.