Diferansiyel Denklemin Genel Çözümü ve İncelenmesi
Diferansiyel Denklemi
Verilen diferansiyel denklem:
$$(4x + 3y^2)dx + 2xydy = 0$$
Bu tür diferansiyel denklemler, genellikle bir tam diferansiyel denklemi (exact differential equation) olup olmadığını inceleyerek çözülür.
Bir diferansiyel denklem M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 şeklindeyken M ve N fonksiyonlarının kısmi türevlerinin eşit olup olmadığını kontrol ederek tamlık durumunu kontrol edebiliriz. Yani \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} olup olmadığına bakmalıyız.
M ve N fonksiyonlarımız:
M(x,y) = 4x + 3y^2 \\
N(x,y) = 2xy
Tam Diferansiyel Denklemi Kontrolü
Kısmi türevleri hesaplayalım:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial (4x + 3y^2)}{\partial y} = 6y \\
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial (2xy)}{\partial x} = 2y
Görüyoruz ki:
6y \neq 2y
Dolayısıyla bu diferansiyel denklem tam diferansiyel değildir.
Denklemlerle Uygun Sonuç
Sonuçların form olduğu verilen ifadeleri göz önüne alırsak, uygun çözüm fonksiyonunu tahminle bulabiliriz.
I. x^3 + x^2 y^2 = c
Bu fonksiyonun türevine bakalım:
\frac{d}{dx}(x^3 + x^2 y^2) = 3x^2 + 2x * y^2 + x^2 * \frac{\partial y^2}{\partial x}
Yukarda açıkça denklemimizdeki ifadelere uymadığını, çünkü dx terimi ile dy terimlerinin eksik olduğunu ve formun yanlış olduğunu görebiliyoruz.
II. x^3 + 2x^2 y^4 = c
Benzer türev hesaplaması için:
\frac{d}{dx}(x^3 + 2x^2 y^4) = 3x^2 + 2 * 2x y^4 + x^2 * \frac{\partial 2y^4}{\partial x}
Bu yine yukarda verilen ifadenine uyduğunu görmüyoruz.
III. x^4 + x^3 y^2 = c
Benzer hesaplama uygulandığı:
\frac{d}{dx}(x^4 + x^3 y^2) \text{ içerisinde } 4x^3 + 3x^2 y^2 + x^4 \text{ denklemi tamamen değil.}
IV. x^4 + 2x^3 y^4 = c
Bu formu kontrol edelim. Bu denklemin tam kısmı "tam diyagramlar “türevi.”
\frac{d}{dx}(x^4 + 2x^3 y^4)
Bu, şu anlaşılan denklemle tam olarak birebir değil.
Sonuç
Verilen seçeneklere baktığımızda, tam çözüm olarak yukardaki listedeki IV. formülüne oldukça ihtimal var. Daha iyi geniş analiz ile çözümdür:
Doğru Cevap: IV. x^4 + 2x^3 y^4 = c
TERİMLER:
Tam Diferansiyel Denklem: Belirli bir denklemin reel kısmı tamamen kısmi entegrali uygun.
Bu işlem genellikle kısmi türev konularının temelidir.