Soru 1: f: R→R, f(x) = x³ + mx² + nx + 1 fonksiyonunun ekstremum noktalarından biri A (1,3) ise diğer ekstremum noktasının apsisini bulunuz.
Soru 2: f: R→R, f(x) = x² - 3x + 4 fonksiyonunun grafiği üzerindeki bir A(a, b) noktasının koordinatları toplamının alabileceği en küçük değeri bulunuz.
Soru 3: ∫(2x^2 + 3x + 1)dx integralinin eşitini bulunuz.
Soru 4: ∫(√2x + 2)dx integralinin eşitini bulunuz.
Soru 5: ∫8(2x - 5)^4dx integralinin eşitini bulunuz.
Ekstremum noktalarını bulmak için öncelikle f(x) fonksiyonunun türevini alarak kritik noktaları bulmamız gerekir.
f(x) = x³ + mx² + nx + 1 fonksiyonunun türevi:
f'(x) = 3x² + 2mx + n
Ekstremum noktası A (1,3), demek ki f'(1) = 0 olmalıdır. Bunu kullanarak m ve n ilişkisini bulabiliriz:
f'(1) = 3(1)² + 2m(1) + n = 0
3 + 2m + n = 0
Bu denklemden m ve n arasındaki ilişkiyi doğrudan çözmemiz mümkün değil çünkü iki bilinmeyen var. Ancak, ikinci ekstremum noktasını bulmak için f'(x) fonksiyonunun, x ≠ 1 olacak şekilde sıfır olduğu başka bir x değerini bulmamız gerekiyor.
f'(x) = 0 olduğunda, 3x² + 2mx + n = 0 denklemini sağlayan x ≠ 1 değerini bulabiliriz. Bu, ikinci dereceden bir denklem olduğu için maksimum iki gerçek kökü olabilir. Bir kök x = 1 olduğuna göre, Vieta’nın formüllerine göre diğer kök ile birlikte x'in köklerinin toplamı -\frac{2m}{3} olacaktır.
Elimizdeki x = 1 olduğundan, diğer kök x_2 = -\frac{2m}{3} - 1. Ancak, bu değeri doğrudan 2m ve n'in değerlerini bilmeksizin hesaplayamayız. Soruda verilen diğer bilgileri veya metodları kullanarak m ve n'i çözmemiz veya sorunun doğasına dair ek varsayımlar yapmamız gerekirdi ki bu, verilen bilgilerle mümkün değil.
Sonuç olarak, bu sorunun çözümü verilen bilgilerle eksik olduğundan dolayı, diğer ekstremum noktasının apsisini bulmamız için daha fazla bilgi veya farklı bir yöntem gerekmektedir.
f(x) = x² - 3x + 4 denkleminin minimum değerini bulmak için bu fonksiyonun türevini alıp, sıfıra eşitlediğimizde x değerini bulabiliriz.
f'(x) = 2x - 3
f'(x) = 0 olduğunda:
2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}
Bu x değeri için y’yi bulalım:
f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)² - 3\left(\frac{3}{2}\right) + 4 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 4 = \frac{9 - 18 + 16}{4} = \frac{7}{4}
Bu durumda A noktasının koordinatları \left(\frac{3}{2}, \frac{7}{4}\right) olur ve bu koordinatların toplamı \frac{3}{2} + \frac{7}{4} = \frac{6}{4} + \frac{7}{4} = \frac{13}{4} olur.
f(x) fonksiyonunun grafiği üzerindeki bir A noktasının koordinatları toplamının alabileceği en küçük değer \frac{13}{4}'dır.
∫(2x^2 + 3x + 1)dx = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x + C
∫(√2x + 2)dx = ∫(\sqrt{2}x^{1/2} + 2)dx = \frac{2}{3}\sqrt{2}x^{3/2} + 2x + C
∫8(2x - 5)^4dx = \frac{8}{5}(2x - 5)^5 + C
Apsis: Bir noktanın koordinat sistemindeki x eksenindeki değeri.
Ekstremum noktası: Fonksiyonun yerel minimum veya maksimum değerlerinin aldığı nokta.
Integral/İntegral: Bir fonksiyonun belirli bir aralık boyunca toplamını veya alanını hesaplama işlemi.
