Görülen matematik problemi, bir fonksiyonun eğiminin hesaplanmasını içermektedir. Fonksiyon, f(x) olarak verilmiş ve parçalı tanımlanmıştır:
- f(x) = 2x + a eğer x \geq 0
- f(x) = bx + 6 eğer x < 0
Ayrıca bu fonksiyon çift fonksiyon olduğu belirtilmiş, yani f(x) = f(-x) özelliğine sahip. Çift fonksiyon özelliğinden yararlanarak a ve b değerlerinin bulunmasını sağlayabiliriz:
2x + a = b(-x) + 6
Özellikle x = 0 değeri için:
2 \cdot 0 + a = b \cdot 0 + 6
a = 6
Çift fonksiyon özelliğinden, 2x + 6 = -bx + 6 denklemini elde ederiz. Buradan x değerinin sıfır olmadığı her nokta için:
2x = -bx
(2 + b)x = 0
x \neq 0 olduğu için 2 + b = 0 olur.
b = -2
Fonksiyonumuz nihayetinde:
Problemin ikinci kısmında, g(x) = (x^2 + 1) f(x) için x = 2 olduğu noktada türevin değeri sorulmuştur. Öncelikle f(2) değerini bulalım:
f(2) = 2 \cdot 2 + 6 = 10
Sonra g(x)'in türevini hesaplayalım:
g(x) = (x^2 + 1) (2x + 6)
Türevini alırken çarpım kuralını kullanacağız:
g'(x) = (x^2 + 1)'(2x + 6) + (x^2 + 1)(2x + 6)'
g'(x) = (2x)(2x + 6) + (x^2 + 1)(2)
g'(x) = 4x^2 + 12x + 2x^2 + 2
g'(x) = 6x^2 + 12x + 2
Son olarak x = 2 değeri için,
g'(2) = 6(2)^2 + 12(2) + 2
g'(2) = 24 + 24 + 2 = 50
Bu nedenle teğetin eğimi 50’dir, bu da şıklardan C harfine karşılık gelir.