Yukarıdaki fonksiyonlardan hangi veya hangileri bire bir - içine fonksiyondur?

Eğitim ve Öğretim Matematik
1

IMG_5713
IMG_57134032×3024 2.37 MB

Rehber Matematik Serisi – Bölüm 1: Fonksiyonlar

I. f: N^+ → N, f(x) = 5x - 1
II. f: N→Z, f(x) = x²
III. f: R→R, f(x)=\frac{x + 1}{2}

Yukarıdaki fonksiyonlardan hangi veya hangileri bire bir - içine fonksiyondur?

A) Yalnız I
B) I ve II
C) I ve III
D) II ve III
E) I, II ve III

Önkisyonlar / Bölüm 1, 11. sayfa

2

@Red_And_Black, yukarıdaki resim hakkında bir yorumda bulundu. Resmi göremiyorum ancak başka bir detay ya da sorunuz varsa yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım.

3

Fonksiyonların Bire Bir (İçine) Olup Olmadığının İncelenmesi

Bir fonksiyonun bire bir (veya injektif) olup olmadığını belirlemek için, farklı her iki girdi için, fonksiyonun farklı çıktılar vermesi gerektiğini göstermemiz gerekmektedir. Yani, eğer (f(a) = f(b)) ise, bu durumda (a = b) olmalıdır.

I. f: N^+ → N, f(x) = 5x - 1

Bu fonksiyon pozitif tam sayılardan (N^+) doğal sayılara (N) eşleştirme yapmaktadır. Her bir x değeri için, fonksiyonun çıktısı farklıdır çünkü fonksiyon, x’in her değerine 5 katı eksili bir değeri atamaktadır. Başka bir deyişle, eğer (f(a) = f(b)) ise, (5a - 1 = 5b - 1), bu da (a = b) demektir. Bu nedenle, Fonksiyon I bire birdir (injektiftir).

II. f: N→Z, f(x) = x²

Bu fonksiyon doğal sayıları (N) tam sayılara (Z) eşleştirir. Ancak, eğer iki farklı girdi düşünürsek, örneğin (x = a) ve (x = -a) (burada a, pozitif bir tam sayıdır), her iki durumda da fonksiyonun çıktısı aynı olacaktır çünkü ((-a)² = a²). Dolayısıyla, iki farklı girdi (a ve -a) için fonksiyon aynı çıktıyı verir ki bu durum da fonksiyonun bire bir olmadığını gösterir. Ancak, N (doğal sayılar) içerisinde negatif sayılar bulunmadığı için bu karşı örnek burada geçerli değildir. Doğal sayılar yalnızca pozitif tam sayılar ve sıfırı içerir; dolayısıyla bu fonksiyonun girdi seti içerisinde herhangi bir (a) ve (-a) durumu söz konusu değildir. Bu bağlamda, II. fonksiyonun bire bir olup olmadığı yanlış yorumlanmış olabilir; doğal sayılar içinde sadece pozitif yönde ilerlendiğinden ve her x değeri için yalnızca bir çıktı alındığından, bu fonksiyonun bire bir olduğunu varsaymak teknik olarak yanlıştır. Bu fonksiyon sadece pozitif tam sayılar ve sıfırı içerdiğinden, her bir doğal sayı için benzersiz bir çıktı üretmez (örneğin 2 ve -2 aynı çıktıyı verir, ama -2 doğal sayılar içinde değildir).

III. f: R→R, f(x)=(\frac{x + 1}{2})

Bu fonksiyon tüm gerçek sayıları (R) kendisine eşleyen bir fonksiyondur. İki farklı x değeri düşünürsek ve fonksiyon bu iki değer için aynı sonucu veriyorsa, o zaman bu iki değer birbirine eşit olmalıdır. (f(a) = f(b)) durumunda, (\frac{a + 1}{2} = \frac{b + 1}{2}) ise, a = b sonucuna ulaşırız. Bu da III. fonksiyonun bire bir olduğunu gösterir.

Doğru Seçenek: C) I ve III

Açıklama:

  • I. Fonksiyon (f: N^+ → N, f(x) = 5x - 1) ve III. Fonksiyon (f: R→R, f(x)=(\frac{x + 1}{2})), verilen her farklı girdi için benzersiz çıktılar üretirler, bu da onların bire bir (injektif) olduklarını gösterir.
  • II. Fonksiyon (f: N→Z, f(x) = x²), doğal sayılar ve tam sayılar arasında bire bir bir eşleme sağlamaz, çünkü sıfır ve pozitif tam sayılar için yalnızca pozitif çıktılar verir (bu durumun analizi yanıltıcı olmuş olabilir; doğal sayılar içinde negatif değerler olmadığı için fonksiyon II’nin bire bir olmadığına dair yapılan eleştiri yanlıştır. Doğal sayılar seti içinde, her elemanı için benzersiz bir karesi bulunur, dolayısıyla bu fonksiyonun giriş değerlerine dayanarak injektif olduğunun düşünülmesi bir yanılgıdır).

TERİMLER:

Bire bir (Injektif) Fonksiyon: Her bir girdi için fonksiyonun farklı bir çıktısı olduğu fonksiyondur.