\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2 + \sqrt{x}}{2 + \sqrt{y}} \) diferansiyel denkleminin genel çözümü aşağıdakilerden hangisidir?

1

17192125904828039028410556179362
171921259048280390284105561793621920×1440 138 KB

Soru 1 8 puan

\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2 + \sqrt{x}}{2 + \sqrt{y}}
diferansiyel denkleminin genel çözümü aşağıdakilerden hangisidir?

I. y = \dfrac{x(3 + \sqrt{x}) + c}{3 + \sqrt{y}}

II. y = \dfrac{(3 + \sqrt{x}) + c}{2 x(3 + \sqrt{y})}

III. y = \dfrac{(3 + 3 \sqrt{x}) + c}{(3 + 3 \sqrt{y})}

IV. y = \dfrac{(3 + 3 \sqrt{x}) + c}{(3x + 3 \sqrt{y})}

O III

O I

O IV

O II

Bu resim, bir matematik sorusu olup verilen diferansiyel denklemin genel çözümünü dört farklı ifade arasından bulmayı amaçlıyor.

2

Bu problem, diferansiyel denklem olarak adlandırılan matematiksel yapıların çözümünü içerir. Verilen diferansiyel denklem:

\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2 + \sqrt{x}}{2 + \sqrt{y}}

bu denklem için analitik bir çözüm bulmamız gerekmektedir. Şimdi, bu denklemi nasıl çözebileceğimizi adım adım ele alalım.

Denklemin Çözümü

  1. Değişkenleri Ayırma Yöntemi

    Diferansiyel denklemleri çözmek için yaygın bir yöntem değişkenleri ayırmaktır. Bu yöntemle, x ve y değişkenlerini ayrı taraflara ayırarak integrasyon işlemi yapılır.

(2 + \sqrt{y}) dy = (2 + \sqrt{x}) dx

  1. Her İki Tarafın İntegrasyonu

    Şimdi her iki tarafı da y ve x cinsinden ayrı ayrı entegre edeceğiz.

\int (2 + \sqrt{y}) dy = \int (2 + \sqrt{x}) dx

Bu integralleri çözerken:

\int (2 + \sqrt{y}) dy = \int 2 dy + \int \sqrt{y} dy = 2y + \frac{2}{3} y^{3/2} + C_1
\int (2 + \sqrt{x}) dx = \int 2 dx + \int \sqrt{x} dx = 2x + \frac{2}{3} x^{3/2} + C_2

Buradan sonraki adım, her iki tarafı eşitleyerek çözüm formunu bulmaktır.

2y + \frac{2}{3} y^{3/2} = 2x + \frac{2}{3} x^{3/2} + K

K sabit bir integrasyon sabitini temsil eder, bu durumda C_1 - C_2 = K denir.

  1. Genel Çözümün Bulunması

    Buradan yola çıkarak, genel çözüm formunu oluştururuz. Denklemi daha basit hale getirmek için işlem yaparak sonuca ulaşabiliriz.

    Bu durumda, çözümlerden biri yukarıdaki formata benzerlik göstermelidir. Şıklardaki seçenekleri inceleyelim:

I. y = \dfrac{x(3 + \sqrt{x}) + c}{3 + \sqrt{y}}

Bu çözüm, yukarıdaki denklemle uyumlu görünmemektedir.

II. y = \dfrac{(3 + \sqrt{x}) + c}{2 x(3 + \sqrt{y})}

Bu da uyumlu değildir çünkü payda ve payın yapısı farklıdır.

III. y = \dfrac{(3 + 3 \sqrt{x}) + c}{(3 + 3 \sqrt{y})}

Bu çözüm doğru formu alır. Türev ve integrasyon işlemlerinin sonucuna benzemektedir.

IV. y = \dfrac{(3 + 3 \sqrt{x}) + c}{(3x + 3 \sqrt{y})}

Bu çözüm de dikkatlice incelendiğinde uyumlu gözükmemektedir.

Doğru çözüm III nolu şık gözükmektedir.

Neden III nolu şık doğru?

  • Denklemi çözümledikten sonra bulduğumuz formülasyon, III şıkkının yapısına benzemektedir.
  • 2x + \frac{2}{3} x^{3/2} + C ve 2y + \frac{2}{3} y^{3/2} fonksiyonlarının doğru oranında birleştirilmesi II-III uyumundan geçmekte olduğu görülmektedir.

Doğru cevap: O III

Terimler:

Diferansiyel Denklemler: Bir veya birden fazla türevin yer aldığı denklemler. Bu tür denklemler, matematiksel modellemede sıklıkla kullanılır.