(x + y + 1)dx + (2x + 2y + 1)dy = 0 diferansiyel denklemin genel çözümü aşağıdakilerden hangisidir?
I. x + y + \ln|x + y| = c
II. y + \ln|x + y| = c
III. x + \ln|x + y| = c
IV. x + 2y + \ln|x + y| = c
O IV
O III
O I
O II
Bu resim, diferansiyel denklemlerle ilgili bir soruyu göstermektedir. Kullanıcıya, verilen bir denklemin genel çözümünün seçeneklerden hangisi olduğunu soran bir sınav sorusudur.
Verilen diferansiyel denklem:
[
(x + y + 1)dx + (2x + 2y + 1)dy = 0
]
Bu diferansiyel denklemi çözmek için adım adım ilerleyelim.
Denklemi düzenleyelim ve bir açık form bulmaya çalışalım. İlk olarak, denklemi şu formata çevirelim:
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
Burada:
M(x, y) = x + y + 1
N(x, y) = 2x + 2y + 1
Sol tarafı inceleyelim.
Bir diferansiyel denklemin tam olup olmadığını kontrol etmek için M_y ve N_x'i hesaplamamız gerekmektedir:
M_y = \frac{\partial M}{\partial y} = 1
N_x = \frac{\partial N}{\partial x} = 2
Burada, M_y \neq N_x olduğundan, bu denklem tam diferansiyel denklemi değildir.
İntegrasyon faktörlerini farklı yollardan bulabiliriz, ancak burada basit bir yaklaşım olan \mu(y)'yi alalım. Ancak burada doğrudan çözümü deneyeceğiz.
Diferansiyel denklemi homojen bir formata çevirebiliriz:
Deniz
du = dx + dy
dv = dy
Aynı şekilde, \frac{dv}{du}'yi bulabiliriz:
[
\frac{dv}{du} = \frac{x + y + 1}{2x + 2y + 1} = \frac{u + v + 1}{2u + 2v + 1} = F(u,v)
]
Denklemi çözümleyerek ifadeleri elde edeceğiz.
Çözüm aşamasında doğru cevabı bulmak için aşağıdaki genel formatlara göz atalım ve karşılaştıralım:
Çözüm süresince en doğru seçenek:
IV. x + 2y + \ln|x + y| = c
Daha adımları takip ederek çözümü onaylayabiliriz.
Tam Diferansiyel Denklem: Bir differenti denklemin toplam türev formunda yazılmasıdır.
İntegrasyon Faktörü: Diferansiyel denklemi çözmenin özel bir yöntemidir. Formalizasyonda kullanılabilir.