Diferansiyel Denklemin Çözümü
Verilen diferansiyel denklem:
\frac{dy}{dx} + \frac{3y}{x} = 6x^2
Bu, bir birinci derece lineer diferansiyel denklemdir. Çözümüne bakalım:
1. Adım: Standart Form
Denklemimizi standart formuna çevirelim:
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)
Bu durumda P(x) = \frac{3}{x} ve Q(x) = 6x^2 .
2. Adım: İntegrasyon Faktörü
İntegrasyon faktörü \mu(x) 'i hesaplamamız gerekiyor. İntegrasyon faktörü, \mu(x) = e^{\int P(x) dx} formülünden bulunur:
\mu(x) = e^{\int \frac{3}{x} dx} = e^{3 \ln|x|} = |x|^3
(Genellikle integrasyon faktörünü pozitif ifadesiyle alırız, bu durumda \mu(x) = x^3 ).
3. Adım: Diferansiyel Denklemi İntegrasyon Faktörü ile Çarpma
Denklemi integrasyon faktörü ile çarptığımızda:
x^3 \frac{dy}{dx} + x^3 \frac{3y}{x} = 6x^2 \cdot x^3
x^3 \frac{dy}{dx} + 3x^2 y = 6x^5
Sol tarafı dikkatlice incelesek:
\frac{d}{dx}(x^3 y) = 6x^5
4. Adım: İntegrasyon
Her iki tarafı x’e göre integre ediyoruz:
\int \frac{d}{dx}(x^3 y) dx = \int 6x^5 dx
x^3 y = x^6 + C
Burada C entegrasyon sabitidir. İfadeyi y’yi bulacak şekilde çözeriz:
y = \frac{x^6 + C}{x^3}
y = x^3 + \frac{C}{x^3}
5. Adım: Sonuçları Kontrol Etme
Çıkan sonuç ifadesi seçeneklerle kıyaslandığında, II
seçeneği:
**II. y=x^3+\frac{1}{x^3}c **
doğru yakalanan genel çözümü vermektedir.
Diğer Seçeneklerin Detaylı İncelenmesi
I. Seçenek:
y = x^3 + \frac{1}{6x} c
Bu seçenek doğru çözümü yansıtmıyor. Özellikle \frac{1}{6x} terimi, yanlış bir entegrasyon sonucu olabileceğinden yanlıştır.
III. Seçenek:
y = x^6 + x^3 c
Bu seçenek de yanlış. Bu ifadeye göre çıkacak terimlerden biri \frac{dy}{dx} hesaplandığında, tanımlanan diferansiyel denklemi sağlamaz.
IV. Seçenek:
y = \frac{1}{x^6} + x^3 c
Bu terim kendinden oldukça karmaşık hale gelir ve verilen diferansiyel denkleme uymamaktadır.
Sonuç olarak:
**Doğru yanıt II. seçenektir: y = x^3 + \frac{1}{x^3}c **
TERİMLER:
Lineer Diferansiyel Denklem: İlk terim her iki tarafında birinci derece türevlerinin olmasıyla karakterize edilir.
İntegrasyon Faktörü: Lineer diferansiyel denklemler için çözüm bulmada kullanılan bir fonksiyondur.