$\frac{dy}{dx} + \frac{3y}{x} = 6x^2$ diferansiyel denkleminin genel çözümü aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{dy}{dx}+\frac{3y}{x}=6x^2 diferansiyel denkleminin genel çözümü aşağıdakilerden hangisidir?

I. y=x^3+\frac{1}{6x}c
II. y=x^3+\frac{1}{x^3}c
III. y=x^6+x^3c
IV. y=\frac{1}{x^6}+x^3c

O II
O I
O III
O IV


Bu resim diferansiyel denklemlerle ilgili bir soru içermektedir. Çözümü verilen dört seçeneği değerlendirerek uygun olanı belirlemeniz istenmektedir.

Diferansiyel Denklemin Çözümü

Verilen diferansiyel denklem:

\frac{dy}{dx} + \frac{3y}{x} = 6x^2

Bu, bir birinci derece lineer diferansiyel denklemdir. Çözümüne bakalım:

1. Adım: Standart Form

Denklemimizi standart formuna çevirelim:

\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)

Bu durumda P(x) = \frac{3}{x} ve Q(x) = 6x^2 .

2. Adım: İntegrasyon Faktörü

İntegrasyon faktörü \mu(x) 'i hesaplamamız gerekiyor. İntegrasyon faktörü, \mu(x) = e^{\int P(x) dx} formülünden bulunur:

\mu(x) = e^{\int \frac{3}{x} dx} = e^{3 \ln|x|} = |x|^3

(Genellikle integrasyon faktörünü pozitif ifadesiyle alırız, bu durumda \mu(x) = x^3 ).

3. Adım: Diferansiyel Denklemi İntegrasyon Faktörü ile Çarpma

Denklemi integrasyon faktörü ile çarptığımızda:

x^3 \frac{dy}{dx} + x^3 \frac{3y}{x} = 6x^2 \cdot x^3
x^3 \frac{dy}{dx} + 3x^2 y = 6x^5

Sol tarafı dikkatlice incelesek:

\frac{d}{dx}(x^3 y) = 6x^5

4. Adım: İntegrasyon

Her iki tarafı x’e göre integre ediyoruz:

\int \frac{d}{dx}(x^3 y) dx = \int 6x^5 dx
x^3 y = x^6 + C

Burada C entegrasyon sabitidir. İfadeyi y’yi bulacak şekilde çözeriz:

y = \frac{x^6 + C}{x^3}
y = x^3 + \frac{C}{x^3}

5. Adım: Sonuçları Kontrol Etme

Çıkan sonuç ifadesi seçeneklerle kıyaslandığında, II seçeneği:

**II. y=x^3+\frac{1}{x^3}c **

doğru yakalanan genel çözümü vermektedir.

Diğer Seçeneklerin Detaylı İncelenmesi

I. Seçenek:

y = x^3 + \frac{1}{6x} c

Bu seçenek doğru çözümü yansıtmıyor. Özellikle \frac{1}{6x} terimi, yanlış bir entegrasyon sonucu olabileceğinden yanlıştır.

III. Seçenek:

y = x^6 + x^3 c

Bu seçenek de yanlış. Bu ifadeye göre çıkacak terimlerden biri \frac{dy}{dx} hesaplandığında, tanımlanan diferansiyel denklemi sağlamaz.

IV. Seçenek:

y = \frac{1}{x^6} + x^3 c

Bu terim kendinden oldukça karmaşık hale gelir ve verilen diferansiyel denkleme uymamaktadır.

Sonuç olarak:

**Doğru yanıt II. seçenektir: y = x^3 + \frac{1}{x^3}c **

TERİMLER:

Lineer Diferansiyel Denklem: İlk terim her iki tarafında birinci derece türevlerinin olmasıyla karakterize edilir.
İntegrasyon Faktörü: Lineer diferansiyel denklemler için çözüm bulmada kullanılan bir fonksiyondur.