(1, 2, -3) noktasından geçen ve n = (2, -1, 3) vektörüne dik olan düzlemin denklemini bulunuz

Eğitim ve Öğretim Matematik
1

Screenshot_1

bu soruları cevaplar mısın

Soru 2-) (20 puan)

(1, 2, -3) noktasından geçen ve n = (2, -1, 3) vektörüne dik olan düzlemin denklemini bulun

Bu belge bir matematik sınavının bir sorusunu içermektedir. Soruda, verilen bir noktadan geçen ve belirtilen bir normale dik olan düzlemin denkleminin bulunması istenmektedir.

3

Düzlem Denklemi Bulma

Verilenler ve Problemin Anlaşılması

Bu problemde, bir noktadan geçen ve bir vektöre dik olan bir düzlemin denklemini bulmamız isteniyor. Bu tür bir düzlemin denklemini bulmak için iki önemli bilgiye sahibiz:

  1. Düzlemden geçen bir nokta: \mathbf{P_0} = (1, 2, -3)
  2. Düzleme dik olan bir normal vektör: \mathbf{n} = (2, -1, 3)

Düzlem Denklemi Formu

Bir düzlemin genel denklemi şu şekildedir:

Ax + By + Cz + D = 0

Bu denklemde \mathbf{n} = (A, B, C) normal vektörünü temsil eder. Normal vektörümüzün koordinatları düzlem denkleminin katsayıları olacaktır:

  • A = 2
  • B = -1
  • C = 3

Düzlem Denkleminin Elde Edilmesi

Düzlem, \mathbf{P_0} = (1, 2, -3) noktasından geçtiği için, bu noktanın düzlem denklemini sağlaması gerekir. Noktayı yerine koyarak denklemi düzenleyeceğiz.

  1. Genel düzlem denklemini yazalım:
2x - y + 3z + D = 0
  1. \mathbf{P_0} = (1, 2, -3) noktasını bu denkleme yerleştirelim:
2(1) - (2) + 3(-3) + D = 0
2 - 2 - 9 + D = 0
-9 + D = 0
D = 9
  1. Böylece, düzlemimizin denklemi şu şekildedir:
2x - y + 3z + 9 = 0

Sonuç

Düzlem denklemi 2x - y + 3z + 9 = 0'dır.

Kontrol ve Diğer Seçenekler

1. Yanlış normal vektör kullanımı: Eğer normal vektör doğru seçilmezse düzlemdeki doğrultu yanlış olur ve verilen şartları sağlayamaz. Doğru normal vektör \mathbf{n} = (2, -1, 3) kullanıldığı için doğru sonucu elde ettiğimizden eminiz.

2. Yanlış nokta kullanımı: Elde edilen denklemin, verilen noktayı sağlaması önemli bir kontrol yöntemidir. Burada \mathbf{P_0} = (1, 2, -3) doğru yerleştirildi ve sonuçta belirtildiği gibi D değeri doğru hesaplandı.

3. Genel düzlem denklem formülünden sapma: Denklem Ax + By + Cz + D = 0 formatında olmalıdır. Japonu kesinlikle düzgün bir formatta denklemi yazdığımızdan emin olduk. Bu matematiksel olarak da doğru ve geçerlidir.

TERİMLER:

Normal Vektör: Bir düzlemin ya da yüzeyin, düzlemin içinden geçen bir noktadaki doğrultulara dik olan vektör.