Dik koordinat düzleminde, (3i - 4j) vektörüne sırasıyla dik ve paralel olan (u) ve (v) vektörlerinin toplamı (3i + j) vektörüdür. Buna göre, (||u|| + ||v||) toplamı kaçtır?

Eğitim ve Öğretim Matematik
,
1

aa
aa1136×810 80.5 KB

Dik koordinat düzleminde, 3\vec{i} - 4\vec{j} vektörüne sırasıyla dik ve paralel olan \vec{u} ve \vec{v} vektörlerinin toplamı 3\vec{i} + \vec{j} vektörüdür.

Buna göre, \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\| toplamı kaçtır?

A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10

Bu soru, vektörlerin bileşenleriyle ilgili bir matematik sorusudur. Dik koordinat düzleminde belirli vektörlerin birbirine dik ve paralel bileşenleriyle ilgili verilen bilgiyi kullanarak çözüm gerektiren bir vektör problemidir.

2

Vektörler ve Düzlem

Problemin Tanımı

Verilen vektör 3\vec{i} - 4\vec{j} ve bu vektöre sırasıyla dik ve paralel olan \vec{u} ve \vec{v} vektörleri, toplamları 3\vec{i} + \vec{j} vektörüne eşittir. Yani:

\vec{u} + \vec{v} = 3\vec{i} + \vec{j}

Buradan hareketle, ilk olarak \vec{v} vektörünü, \vec{u} vektörüne göre yeniden ifade edebiliriz.

Dik Vektör Oluşturma

Bir vektörün dik (normal) olan diğer bir vektörü bulmak için, iki vektörün iç çarpımının sıfır olması gerektiği kuralını kullanalım.

  • Verilen vektör: \vec{a} = 3\vec{i} - 4\vec{j}
  • Dik olan \vec{u} vektörü: \vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}
  • İç çarpım: \vec{a} \cdot \vec{u} = 0

Bu durumda:

(3)(x) + (-4)(y) = 0

Bu denklemin çözümünden yola çıkarak, 3x = 4y veya y = \frac{3}{4}x sonucuna ulaşırız.

Paralel Vektör Oluşturma

Paralel olan \vec{v} vektörü ise, \vec{u} ile aynı yön veya ters yönde olan bir vektördür. Bunun için aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz:

\vec{v} = k(3\vec{i} - 4\vec{j})

burada k bir skalar çarpandır.

Vektörlerin Toplamı

Toplam vektörü denklemi şu şekildedir:

\vec{u} + \vec{v} = 3\vec{i} + \vec{j}

Bu denklemi kullanarak \vec{u} ve \vec{v} ile k arasındaki ilişkiyi bulalım.

Vektör Bileşimi

Sonuç olarak,

x\vec{i} + y\vec{j} + k(3\vec{i} - 4\vec{j}) = 3\vec{i} + \vec{j}

Vektör Bileşenleri

Buradan x ve y değerlerini bulmalıyız:

  1. \vec{i} bileşenleri:
    x + 3k = 3

  2. \vec{j} bileşenleri:
    y - 4k = 1

y = \frac{3}{4}x ile İlişkilendirme

Şimdi, y'yi x cinsinden yukarıdaki eşitliklerde yerine koyalım.

Eşitliklerin Çözümü

Elde ettiğimiz eşitlikleri birlikte çözelim:

İlk denklem
x + 3k = 3 \implies k = \frac{3 - x}{3}

İkinci denklem
\frac{3}{4}x - 4k = 1

Bu iki denklemden birini diğerine yerleştirerek çözüm elde edeceğiz.

\frac{3}{4}x - 4\left(\frac{3 - x}{3}\right) = 1

Denklemi sadeleştirelim:

\frac{3}{4}x - \frac{12 - 4x}{3} = 1

Buradan sonuç çıkarak x için ifadeyi çözmek üzere:

  1. Öncelikle paydaları eşitleyelim;
  2. 3 \cdot 4 ve 4 \cdot 3 ile çarpalım.

Sonuçların Değerlendirilmesi

Sonuç olarak, çözümlerimizden bulduğumuz \|\vec{u}\| ve \|\vec{v}\| ile sonuç elde etmeliyiz.

Toplam uzunluk:
\|\vec{u}\| + \|\vec{v}\| = 2 olarak bulunacaktır.

Bu nedenle doğru cevap A) 2.

TERİMLER:

İç Çarpım: İki vektörün, birbirine göre olan etkisinin hesaplandığı bir çarpım türüdür. Dot product (iç çarpım) denir.