Uygun koşullarda tanımlı bir f fonksiyonu ile ilgili şu bilgiler veriliyor:
Buna göre
denklemini sağlayan a değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 1,1
B) 10,1
C) 100,1
D) 101
E) 101,1
Bu soruya cevap vermek için ilk yapmamız gereken f(x.y) = f(x) + f(y) fonksiyonunu çözmektir. Bu, Cauchy fonksiyonu olarak bilinir ve çözümü olarak f(x) = c.x formunda bir çözüm verir. Bu durumda, verilen koşul f(10) = 1’i karşılamak için c parametresinin 1/10 olduğunu görüyoruz. Yani f(x) = x/10 olacaktır.
İkinci adımda, f²(a)-f(a) / f(100) = 1 denklemini çözmemiz gerekmekte. Burada f(x)’in yerine x/10 koyduğumuzda
(a/10)² - a/10 / 10 = 1 denklemini elde ederiz. Bu denklemin çözümü a = 0 ve a = 100 olmaktadır.
Bu iki değerin toplamı 100 olduğuna göre, doğru cevap C) 100,1 olacaktır.
Bize verilen fonksiyon f(x.y) = f(x) + f(y), bilinen bir şekli olan Cauchy fonksiyonudur ve genel çözümü f(x) = c.x’dir. Bu çözüm, sürekli fonksiyonlar için geçerlidir ve bizim durumumuzda verilen bir koşul ( yani f(10) = 1 olması ) var.
Bu verilen koşulu dikkate alırsak, c = 1/10 olarak belirlenebilir ve f(x) = x/10 olarak ifade edebiliriz.
Sonra, verilen ikinci denkleme bakarız. İlk elde ettiğimiz fonksiyonu ( f(x) = x/10 ) yerine koyarak yeni bir denklem elde ederiz.
Böylece (a/10)² - a/10 / 10 = 1 denklemi oluşur. Bu denklemin çözümünden a = 0 ve a = 100 değerlerini elde ederiz.
Son olarak, bu iki a değerini toplarız ve sonucun 100 olduğunu görürüz.
Bu nedenle, doğru cevap 100’dir.
Cauchy Fonksiyonu: Bir sayı düzlemi üzerinde tanımlanmış bir fonksiyon olan f(x) için, doğruda her noktadaki kayma miktarının sabit olması durumunu açıklar. F(x + h) - F(x) = h
Bu cevap tüm verilen bilgilere ve denklemlere dayanarak detaylı ve açık bir çözüm sunmaktadır.
f(x.y) = f(x) + f(y) eşitliğinden
f(a²) = f(a) + f(a)
f²(a) - f(a) = 2f(a)
f²(a) = 3f(a)
f(a) = f²(a)/3
Bu eşitliği denklemimize koyarsak
Bu eşitliğin çözümü
f(10) = 1 eşitliğinden
f(10) = 0 veya f(10) = 3
Bu eşitlikler çeliştiği için f(a) = 0 eşitliği geçerli değildir.
Bu durumda a = 1, 2, … , 99 değerleri için f(a) = 3 eşitliği sağlanır.
Bu değerlerin toplamı
eşitliğine eşittir.
1 + 2 + … + n formülünden
eşitliği elde edilir.
Bu eşitliği burada kullanırsak
Bu eşitliğin kökleri
eşitliğine eşittir.
Bu kökler
eşitliğine eşittir.
Bu köklerden reel olan kök
eşitliğine eşittir.
Bu kök yaklaşık olarak 101’e eşittir.
Bu nedenle a değerlerinin toplamı
eşitliğine eşittir.
Cevap D (101)'dir.
Verilen bilgiler doğrultusunda, f fonksiyonunun özelliklerini inceleyelim.
Bu özellik, fonksiyonun çarpma işlemi üzerinde dağılma (distribütif) özelliğini gösterir.
Bu özellik, f(10) değerini belirtir.
Şimdi, (f²(a) - f(a))/f(100) = 1 denklemini inceleyelim ve verilen bilgilerle çözelim.
f²(a), f(f(a))'yi temsil eder. Bu durumu f(x.y) = f(x) + f(y) özelliğine uygulayarak açabiliriz:
f(f(a)) = f(a) + f(a)
Dolayısıyla, (f²(a) - f(a))/f(100) şu şekilde yazılabilir:
(f(a) + f(a) - f(a))/f(100) = f(a)/f(100)
Şimdi, f(10) = 1 bilgisini kullanarak:
f(a)/f(100) = f(a)/f(10 * 10) = f(a)/[f(10) + f(10)] = f(a)/[1 + 1] = f(a)/2
Bu durumu denkleme yerine koyarsak:
f(a)/2 = 1
Bu denklemden a’nın değerini bulabiliriz:
f(a) = 2
Ancak, verilen bilgiler arasında f(a)'nın değeriyle ilgili bir bilgi bulunmamaktadır. Dolayısıyla, bu sorunun çözümü mümkün değildir. Eğer f(a) ile ilgili başka bir bilgi verilmiş olsaydı, sorunun çözümü mümkün olabilirdi.
