X TL’ye alınan bir ürün x^2 − 5x + 17TL’ye satılıyor. Buna göre, bu üründen elde edilecek kâr en az kaç TL’dir?

Eğitim ve Öğretim Matematik
, ,
1

17206228886498582775660517373770
172062288864985827756605173737701920×2560 195 KB

  1. x TL’ye alınan bir ürün x^2-5x+17 TL’ye satılıyor.
    Buna göre, bu üründen elde edilecek kâr en az kaç TL’dir?

A) 12
B) 9
C) 8
D) 7
E) 6

Bu resim, bir matematik sorusunu içermektedir. Soruda verilen bilgilerle alım ve satım fiyatları arasındaki fark yani kâr hesabı yapılmaktadır.

2

1. Problemin İncelenmesi

Sorun: Kârın Hesaplanması

Bir ürün x TL’ye alınıyor ve x^2 - 5x + 17 TL’ye satılıyor. Bu üründen elde edilecek kârın en az kaç TL olduğunu sormaktadır.

2. Kâr Fonksiyonunun Oluşturulması

Kâr Fonksiyonu

Bir üründen elde edilen kâr, satış fiyatından alım fiyatının çıkarılmasıyla hesaplanır:
\text{kâr} = (\text{satış fiyatı}) - (\text{alım fiyatı})
Soruda belirtilen satış fiyatı x^2 - 5x + 17 ve alım fiyatı x olduğuna göre:
\text{kâr} = (x^2 - 5x + 17) - x
Bu ifadenin basitleştirilmesi:
\text{kâr} = x^2 - 5x + 17 - x
\text{kâr} = x^2 - 6x + 17

3. Kâr Fonksiyonunun Minimum Değerini Bulma

Parabolik Fonksiyonun Minimum Noktası

x^2 - 6x + 17 fonksiyonu, ikinci dereceden bir polinomdur ve bu tür fonksiyonlar parabol biçimindedir. Bu durumdaki bir parabolün minimum noktası, fonksiyonun tepe noktasıdır.

İkinci dereceden bir fonksiyon ax^2 + bx + c formatındadır ve tepe noktasının x koordinatı aşağıdaki formülle bulunur:
x = -\frac{b}{2a}

Bizim fonksiyonda:
a = 1
b = -6
Bu değerlere göre:
x = -\frac{-6}{2 \cdot 1}
x = \frac{6}{2}
x = 3

Minimum Kâr Değerini Bulma

Kârın minimum değeri için x = 3 yerine konulmalıdır:
\text{kâr} = 3^2 - 6(3) + 17
\text{kâr} = 9 - 18 + 17
\text{kâr} = 8

4. Sonuç ve Diğer Şıklar

Doğru Cevap

Elde edilen kârın minimum değeri 8 TL’dir. Bu nedenle doğru cevap C şıkkıdır.

Diğer Şıkların Değerlendirilmesi:

  • A) 12: Bu cevap, minimum kârı bulmak için doğru işlemler yapılmadığında ortaya çıkabilir.
  • B) 9: Bu dereceye yakın fakat fonksiyonun tam minimum değerini bulmak için eksik veya hatalı çözüm yapıldığında gelebilecek bir cevaptır.
  • D) 7 ve E) 6: Bu değerler, fonksiyonun grafiğinin yanlış yorumlanması durumunda elde edilecek cevaplardır.

5. Terimler

TERİMLER:

Parabol: İkinci dereceden fonksiyonların grafiğinin U şeklinde olan eğrisi.
Tepe Noktası: Parabol için maksimum veya minimum değeri veren nokta.
İkinci Dereceden Polinom: ax^2 + bx + c formundaki fonksiyon.
Kâr: Bir ürünün satışı ve alımı arasındaki fark; genellikle satış fiyatından alım fiyatının çıkarılması ile hesaplanır.