Bir satıcı, aldığı bir malın \frac{2}{5} 'ini %30 kârla, \frac{1}{4} 'ünü %20 zararla satmıştır. Tüm satıştan %21 kâr etmesi için, malın geri kalanı % kaç kârla satmalıdır?
A) 14
B) 24
C) 36
D) 40
E) 48
Bu problemin çözümüne başlamadan önce, elimizdeki verileri ve bu verileri nasıl kullanacağımızı doğru bir şekilde belirlemek faydalı olacaktır. Kısaca problemin ana hatlarını çıkaralım:
- Malın bir kısmı %30 kârla satılıyor.
- Malın bir kısmı %20 zararla satılıyor.
- Tüm satıştan %21 kâr isteniyor.
- Malın geri kalanı hangi yüzde ile kârla satılmalı?
Problem Analizi
İlk olarak, bütün malın maliyetini C olarak belirleyelim. Daha sonra da, malın satışı üzerine yapılan hesaplamaları adım adım yapalım.
%30 Kâr ile Satılan Kısım
Malın \frac{2}{5}'i %30 kârla satılmış. Bu kısmın maliyeti:
\frac{2}{5} \cdot C
Bu kısım %30 kârla satılmış olduğuna göre, bu kısmın satışından elde edilen gelir şu şekilde hesaplanır:
Gelir_1 = \frac{2}{5} \cdot C \cdot 1.30
%20 Zararla Satılan Kısım
Malın \frac{1}{4}'ü %20 zararla satılmış. Bu kısmın maliyeti:
\frac{1}{4} \cdot C
Bu kısım %20 zararla satıldığına göre, bu kısmın satışından elde edilen gelir şu şekilde hesaplanır:
Gelir_2 = \frac{1}{4} \cdot C \cdot (1 - 0.20) = \frac{1}{4} \cdot C \cdot 0.80
Toplam Kâr Hesaplaması
Satıcının bütün satıştan %21 kâr elde etmesi isteniyor. Yani, toplam gelir:
Toplam Gelir = C \cdot 1.21
Geri Kalan Mal
Malın satılan miktarlarını toplam maldan çıkararak, geri kalan malın ne kadar olduğunu hesaplayalım:
Geri Kalan = C - (\frac{2}{5} \cdot C) - (\frac{1}{4} \cdot C) = C \cdot \left(1 - \frac{2}{5} - \frac{1}{4}\right)
Bu ifadeyi sadeleştirdiğimizde geri kalan mal:
Geri Kalan = C \cdot \left(\frac{20}{20} - \frac{8}{20} - \frac{5}{20}\right) = C \cdot \left(\frac{7}{20}\right)
Geri Kalan Malla İlgili Gelir
Geri kalan malı %x kârla satmak istiyoruz. Bu durumda bu kısmın elde edileceği gelir:
Geri Kalan Gelir = \frac{7}{20} \cdot C \cdot (1 + x/100)
Tüm Elde Edilen Gelir Toplamı
Tüm gelirleri topladığımızda toplam geliri bulmalıyız ve bu toplam gelirin %21 kârla bulunmadığından emin olmalıyız:
Toplam Gelir = \frac{2}{5} \cdot C \cdot 1.30 + \frac{1}{4} \cdot C \cdot 0.80 + \frac{7}{20} \cdot C \cdot (1 + x/100) = 1.21 \cdot C
Bu denklemi çözersek:
\left(\frac{2}{5} \cdot 1.30\right) + \left(\frac{1}{4} \cdot 0.80\right) + \left(\frac{7}{20} \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right)\right) = 1.21
Denklemleri daha sade hale getirerek çözelim:
\left(\frac{2}{5} \cdot 1.30\right) + \left(\frac{1}{4} \cdot 0.80\right) + \left(\frac{7}{20} \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right)\right) = 1.21
\left(\frac{2 \cdot 1.30}{5}\right) + \left(\frac{0.80}{4}\right) + \left(\frac{7}{20} \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right)\right) = 1.21
\frac{2.60}{5} + \frac{0.80}{4} + \frac{7}{20} \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) = 1.21
0.52 + 0.20 + \frac{7}{20} \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) = 1.21
İşlemleri çözmeye devam edelim:
0.72 + \frac{7}{20} \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) = 1.21
\frac{7}{20} \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) = 1.21 - 0.72
\frac{7}{20} \cdot (1 + \frac{x}{100}) = 0.49
1 + \frac{x}{100} = \frac{0.49 \cdot 20}{7}
1 + \frac{x}{100} = \frac{9.8}{7}
1 + \frac{x}{100} = 1.4
\frac{x}{100} = 0.4
x = 40
Sonuç
Bu çözümden, satıcının geri kalan malı %40 kârla satması gerektiği çıkar. Doğru cevap D şıkkıdır.
Sonuç ve Diğer Seçeneklerin İncelenmesi
- A) 14: 14% kâr doğru yanıt olamaz çünkü gerekli kâr yüzdesinin yanında çok düşük kalır.
- B) 24: 24% kâr doğru yanıt olamaz çünkü gerekli net kâr sağlamak için yeterli değil.
- C) 36: 36% kâr net sonuca yakın olabilir ama doğru miktara ulaşmak için yeterli değil.
- D) 40: 40% kâr doğru yanıt, yukarıdaki hesaplamalar doğrultusunda doğru sonuç sunar.
- E) 48: 48% kâr doğru yanıt olamaz çünkü gerekli olan kâr yüzdesini aşar.
TERİMLER:
Kâr: Bir ürünün maliyet fiyatı üzerine eklenen miktar.
Zarar: Bir ürünün maliyet fiyatından düşülen miktar.
Gelir: Bir ürünün satışından elde edilen toplam miktar.
Maliyet: Ürün veya hizmet üretimindeki toplam harcama veya giderler.