A, b, c pozitif tam sayılar olmak üzere: $3^{2a-4} + 3^{a+2} + 3^{b-2} = 3^{c-6}$ eşitliği veriliyor. Buna göre a + b + c ifadesinin değeri kaçtır?

Eğitim ve Öğretim Matematik
1

1716636846418885084146281473403
17166368464188850841462814734031920×2560 141 KB

a, b, c pozitif tam sayılar olmak üzere

3^{2a-4} + 3^{a+2} + 3^{b-2} = 3^{c-6} eşitliği veriliyor.

Buna göre a + b + c ifadesinin değeri kaçtır?

A) 27
B) 28
C) 29
D) 30
E) 31

3

Verilen denklem:

3^{2a-4} + 3^{a+2} + 3^{b-2} = 3^{c-6}

eşitliğini çözmek için tüm terimleri aynı taban üzerindeki kuvvetler şeklinde yazacağız ve karşılaştıracağız. Öncelikle, kuvvetlerin mümkün olan en küçük olması için 3^{x} şeklinde yazalım:

  1. 3^{2a-4} ifadesi, 3 tabanında kuvveti:
3^{2a-4}
  1. 3^{a+2} ifadesi, 3 tabanında kuvveti:
3^{a+2}
  1. 3^{b-2} ifadesi, 3 tabanında kuvveti:
3^{b-2}
  1. 3^{c-6} ifadesi, 3 tabanında kuvveti:
3^{c-6}

Bu ifadeler toplamı ve eşitliği sağlar:

3^{2a-4} + 3^{a+2} + 3^{b-2} = 3^{c-6}

Şimdi bu kuvvetlerin eşitliğini sağlayacak şekilde uygun a, b, c değerlerini bulalım. Bu tür bir denklemde, kuvvetlerin toplamı veya en büyük terimin kuvvetinin belirleyici olacağı olasılığı üzerinde durarak değerleri uygun hale getirelim.

Adım adım çözüm:

  1. 3^{2a-4} ile başlayalım. Diyelim ki 2a-4 \leq a+2 \leq b-2 olacak şekilde sıralama yapacağız.

  2. Denklemin diğer tarafı, 3^{c-6} olduğundan, c-6 en büyük kuvvet olmalı.

c-6 \geq b-2 \geq a+2 \geq 2a-4

Bu durumları kullanarak, denklemin sağlanabileceği en büyük kuvveti düşünelim. Örneğin, a = 5 ve b = 10 değerlerini kullanalım:

3^{2(5)-4} + 3^{5+2} + 3^{10-2} = 3^{6} + 3^{7} + 3^{8} = 3^{c-6}

Bu durumda c-6 = 8 (en büyük kuvvet 3^{8}'dir):

c = 14

Buradan c = 14. Böylece a + b + c:

a = 5, \quad b = 10, \quad c = 14
a + b + c = 5 + 10 + 14 = 29

Doğru yanıt:

\boxed{29}