EBOB Verileri ile Pozitif Tam Sayıların Toplamının En Küçük Değeri Nasıl Hesaplanır?

Eğitim ve Öğretim Matematik
,
1

17231180112428958404267750971920
172311801124289584042677509719201920×1440 109 KB

  1. 2015/LYS
    a < b < c pozitif tam sayılar ve

EBOB(a, b) = 5
EBOB(b, c) = 4

olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) 27 B) 35 C) 39 D) 45 E) 49

Bu belge, LYS 2015 sınavında pozitif tam sayılar ve EBOB (En Büyük Ortak Bölen) konularını içeren bir matematik problemi içermektedir. Problem a, b, ve c gibi pozitif tam sayıların EBOB’ları verilmiştir ve bu sayıların toplamının en küçük değeri sorulmaktadır.

2

Problem Tanımı

Verilen koşullara göre a < b < c pozitif tam sayıları için EBOB(a, b) = 5 ve EBOB(b, c) = 4 olduğunu biliyoruz. Buradan yola çıkarak a + b + c toplamının en küçük değerini bulmalıyız.

EBOB Nedir?

EBOB (En Büyük Ortak Bölgen), iki ya da daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür. Verilen EBOB değerlerine dayanarak sayıların yapılarını anlamaya çalışmalıyız.

Verilen Bilgiler

  1. EBOB(a, b) = 5 : Bu, hem a hem de b sayısının 5’e bölünebileceği anlamına gelir. Dolayısıyla:

    • a = 5m
    • b = 5n

    Burada m ve n pozitif tam sayılardır ve m < n olmalıdır.

  2. EBOB(b, c) = 4 : Benzer şekilde hem b hem de c sayısının 4’e bölünebileceğini ifade eder:

    • b = 4p
    • c = 4q

    Burada p ve q pozitif tam sayılardır. Aynı zamanda p < q olmalıdır.

Aşamalar:

  1. B’nin Değerlerini Belirlemek:

    • b hem 5’in hem de 4’ün katı olmalıdır. Bu durumda en küçük ortak kat (EKOK) alınarak b için:
      b = \text{EKOK}(5, 4) = 20k
      Burada k pozitif bir tam sayıdır.

  2. a ve c’nin Değerlerini Belirlemek:

    • a = 5m ve b = 20k olduğundan:
      a = 20k - 5x \quad (x \text{ pozitif bir tam sayı})
    • c = 4q ve b = 20k olduğundan:
      c = 20k + 4y \quad (y \text{ pozitif bir tam sayı})

Toplam Hesaplama

Toplam şöyle ifade edilebilir:
a + b + c = 5m + 20k + 4q = (20k - 5x) + 20k + (20k + 4y) = 60k - 5x + 4y

Bu toplamın minimum değerini bulmak için k , x , y değerlerini seçmemiz gerekmektedir.

Minimum Değerleri Seçme

  1. k=1: En küçük durumda başlayarak:
    • b = 20
    • a = 15 (çünkü x=1 )
    • c = 24 (çünkü y=1 )

Toplam:
a + b + c = 15 + 20 + 24 = 59

Ancak bu değer minimum değil.

  1. Daha uygun değerler deneyelim:
    • k = 1 için:
      • p = 5 (bunun için, b 20’dir)
      • a = 5
      • c = 24

Toplamı hesapladığımızda:
a + b + c = 5 + 20 + 24 = 49

En küçük toplam 49’dur.

Sonuç

Bu durumda pozitif tam sayıların alabileceği en küçük değer:

Cevap: E) 49

TERİMLER:

EBOB: İki veya daha fazla sayının en büyük ortak böleni.