48 ve 72'nin en büyük ortak böleni nedir?

Eğitim ve Öğretim Matematik
, , ,
1

48 ve 72 sayılarının ortak bölenlerinden en büyüğünü nasıl belirleyebilirim? Matematiksel olarak bu işlemi hangi yöntemlerle yapabilirim ve en büyük ortak böleni bulmak için hangi adımları izlemem gerekiyor?

2

En Büyük Ortak Bölen (EBOB) Nedir?

En Büyük Ortak Bölen (EBOB), iki veya daha fazla sayının ortak bölenleri arasında en büyük olanıdır. Örneğin, 48 ve 72 sayılarının EBOB’unu bulmak için her iki sayının bölenlerine bakmamız ve ortak olan bölenler arasındaki en büyük sayıyı belirlememiz gerekecektir.

EBOB Bulma Yöntemleri

EBOB’u bulmak için birkaç farklı yöntem kullanabiliriz. En yaygın yöntemler şunlardır:

  1. Asal Çarpanlarına Ayırma Yöntemi
  2. Bölme Yöntemi (Öklid Algoritması)
  3. Çarpan Listeleri Yöntemi

Asal Çarpanlarına Ayırma Yöntemi

Bu yöntemde, iki sayının asal çarpanlara ayrılarak ortak olan asal çarpanların en küçük üssü alınır.

Bölme Yöntemi (Öklid Algoritması)

Bu yöntem, büyük sayıyı küçük sayıya bölerek kalanla devam eden bir dizi bölme işleminden oluşur. İkinci sayı sıfır olana kadar işlemler devam ettirilir ve son sıfır olmayan bölen EBOB’dur.

Çarpan Listeleri Yöntemi

Bu yöntemde, her iki sayının tüm bölenleri listelenir ve ortak olan en büyük bölen belirlenir.

48 ve 72’nin EBOB’unu Bulalım

Asal Çarpanlarına Ayırma Yöntemi

  1. 48’in Asal Çarpanlarına Ayrılması:

    48 = 2^4 * 3^1

  2. 72’nin Asal Çarpanlarına Ayrılması:

    72 = 2^3 * 3^2

  3. Ortak Asal Çarpanlar ve En Küçük Üsleri:

    • Ortak asal çarpanlar: 2 ve 3
    • En küçük üsler: 2 için 2^3, 3 için 3^1

  4. EBOB’u Hesaplayalım:

    EBOB(48, 72) = 2^3 * 3^1 = 8 * 3 = 24

Bölme Yöntemi (Öklid Algoritması)

Bu yöntemi kullanarak adım adım ilerleyelim:

  1. Adım: 72’yi 48’e bölelim ve kalanı bulalım.

    72 ÷ 48 = 1 (kalan 24)

  2. Adım: 48’i 24’e bölelim ve kalanı bulalım.

    48 ÷ 24 = 2 (kalan 0)

Kalan sıfır olduğunda böldüğümüz son sayı EBOB’dur, yani:

EBOB(48, 72) = 24

Çarpan Listeleri Yöntemi

Her iki sayının bölenlerini yazalım:

  • 48’in bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
  • 72’nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

Ortak bölenler: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Ortak bölenler arasındaki en büyük sayı 24’tür, dolayısıyla:

EBOB(48, 72) = 24

Özet

48 ve 72 sayılarının EBOB’unu bulmak için yukarıda verilen üç farklı yöntemi de kullanabiliriz ve her üç yöntem de 24 sonucunu verir. Bu nedenle:

EBOB(48, 72) = 24

Yöntemlerin Detaylı Açıklaması

  1. Asal Çarpanlarına Ayırma yöntemi, sayıları asal çarpanlarına ayırarak ortak olanları ve onların en küçük üslerini belirlemeyi içerir.
  2. Bölme Yöntemi (Öklid Algoritması), büyük sayıyı küçük sayıya bölerek kalanle devam eden ve sıfır kalan elde edilene kadar tekrar eden bir dizi bölme işlemi içerir.
  3. Çarpan Listeleri yöntemi, her iki sayının tüm bölenlerini listeleyerek ortak olanların en büyüğünü belirlemeyi içerir.

TERİMLER:

EBOB (En Büyük Ortak Bölen): İki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinden en büyüğü.
Asal Çarpanlar: Sadece 1 ve kendisi ile bölünebilen, 1’den büyük pozitif tamsayılar.
Öklid Algoritması: İki sayının en büyük ortak bölenini bulmak için kullanılan etkili bir yöntem.