Asal çarpanları 2 ve 3 olan üç basamaklı en küçük sayı kaçtır?

Eğitim ve Öğretim Matematik
, ,
1

Asal çarpanları 2 ve 3 olan üç basamaklı en küçük sayı kaçtır?

2

Asal Çarpanları 2 ve 3 Olan Üç Basamaklı En Küçük Sayı

Çözümün Detaylı Açıklaması

Bu soru, asal çarpanları sadece 2 ve 3 olan en küçük üç basamaklı sayıyı bulmayı gerektiriyor. Asal çarpanlar sadece 2 ve 3 olduğunda, bu sayı, 2^a \cdot 3^b formunda olacaktır. Burada a ve b pozitif tam sayılardır.

Adım Adım Çözüm

  1. İlk adım: Sayının üç basamaklı olması gerekiyor, bu yüzden 100 ile 999 arasında olmalıdır.
  2. İkinci adım: 2^a \cdot 3^b formunu kullanarak sayıyı oluşturacağız ve bu sayının en küçük olması gerektiği durumları inceleyeceğiz.
  3. İlk incelemede a ve b değerlerini minimum düzeyde tutarak başlanabilir.

Deneme ve Yanılma

Denemelere aşağıdaki şekilde başlayabiliriz:

  1. 2^a \cdot 3^b formunu kullanarak en küçük üç basamaklı sayıyı belirlerken;
    • a = 5 ve b = 1 alalım: 2^5 \cdot 3^1 = 32 \cdot 3 = 96 (üç basamaklı değil)
    • a = 4 ve b = 2 alalım: 2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144 (bir aday)
    • a = 3 ve b = 3 alalım: 2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 = 216 (daha büyük)
    • a = 2 ve b = 4 alalım: 2^2 \cdot 3^4 = 4 \cdot 81 = 324 (daha büyük)
    • a = 1 ve b = 5 alalım: 2^1 \cdot 3^5 = 2 \cdot 243 = 486 (daha büyük)
    • ve diğer kombinasyonlar…

Sonuç

144 üç basamaklı olması durumunu en erken sağlayan kombinasyondur.

Doğru Cevap ve Sebepleri

Doğru cevap 144’tür çünkü:

  • 144 sayısı üç basamaklıdır.
  • Asal çarpanlarına bakacak olursak: 144 = 2^4 \cdot 3^2'dir.
  • 2 ve 3 dışında asal çarpan içermez.
  • Daha küçük asal çarpan kombinasyonları üç basamaklı bir sayı oluşturmaz (örneğin, 96).

Diğer Seçeneklerin Detaylı İncelemesi

  • 96 (yanlış): 2^5 \cdot 3 = 96. İki basamaklıdır.
  • 216 (daha büyük): 2^3 \cdot 3^3 = 216. 144 < 216 olduğu için daha büyük.
  • 324 (daha büyük): 2^2 \cdot 3^4 = 324. 144 < 324 olduğu için daha büyük.
  • 486 (daha büyük): 2 \cdot 3^5 = 486. 144 < 486 olduğu için daha büyük.

TERİMLER:

Asal Çarpan: Bir sayıyı bölebilen asal sayıların her birine asal çarpan denir.
Asal Sayı: 1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan pozitif tam sayılar.

3

Asal çarpanları 2 ve 3 olan üç basamaklı en küçük sayıyı bulmak için şu adımları takip edebiliriz:

  1. 2 ve 3’ün kuvvetlerini kullanarak küçük sayılar oluşturalım:

    • 2^1 * 3^1 = 6
    • 2^2 * 3^1 = 12
    • 2^1 * 3^2 = 18
    • …
      Bu şekilde devam ederek üç basamaklı olana kadar sayılar üretebiliriz.

  2. Üç basamaklı olan ilk sayıyı bulalım:
    Yukarıdaki işlemleri yaparken ilk üç basamaklı sayıyı bulduğumuzda dururuz. Bu sayı, asal çarpanları 2 ve 3 olan en küçük üç basamaklı sayıdır.

Çözüm:
Yukarıdaki işlemleri yaparsak, asal çarpanları 2 ve 3 olan en küçük üç basamaklı sayının 108 olduğunu görürüz. (2^2 * 3^3 = 108)

Neden 108?

  • 108 sayısı hem 2’ye hem de 3’e tam bölünür.
  • 108’den küçük olan ve asal çarpanları sadece 2 ve 3 olan başka bir üç basamaklı sayı yoktur.

Sonuç:
Asal çarpanları 2 ve 3 olan üç basamaklı en küçük sayı 108’dir.

Ek Bilgiler:

  • Asal çarpan: Bir sayıyı tam olarak bölen asal sayılara asal çarpan denir.
  • Asal sayı: Sadece 1’e ve kendisine tam bölünebilen 1’den büyük doğal sayılardır. (Örneğin: 2, 3, 5, 7, 11, …)

Umarım bu açıklama anlaşılırdır. Başka sorularınız olursa çekinmeden sorabilirsiniz.