Asal Sayı Nedir? Nasıl Anlaşılır?

[Argonaut (Osman)]

Asal sayı ne demektir. Hangi sayı(lara) asal sayı denilebilir.

[selcukkilic (Selçuk kılıç)]

Asal sayılar sadece kendisine ve 1 sayısına kalansız bölünebilen doğal sayılardır. Örnek 7 sayısı asal sayıdır, çünkü sadece kendisine ve 1 sayısına kalansız olarak bölünebilir.

Asal sayıların 2 pozitif böleni olması gerekiyor, yoksa asal sayı kabul edilmez. Bazı sayılar birden fazla böleni olur, örneğin 4 sayısının 3 böleni vardır: 1, 2, 4 Bu yüzden asal sayı olarak sayılmaz, çünkü asal sayı olması için sadece 2 pozitif böleni olması gerekir, 4 un ise 3 tane vardır. Yani 2 bölenden fazla…

Örnek 1 görünürde asal sayı olarak bilinse de asal sayı değildir, çünkü tek bir böleni bulunmaktadır. Bu durumda en küçük asal sayı 2 oluyor. Kafanız karışabilir, 2 benim içinde asal sayı olarak kabul edilmemesi gerekiyor, çünkü çift haneli ve bu durumu hiçbir asal sayıda görmüyoruz. Ancak asal sayı olma kuralını karşıladığı için asal sayı olarak kabul edilir (asal sayıların 2 pozitif böleni olmalı).

Anlaşılır olması açısından örnek 15 tek haneli olduğu için asal gibi görünüyor ama değildir, çünkü 15 in 3 böleni bulunuyor. Bunlar 1, 3, 5, 15 yani asal olması için gereken kurala uymuyor.

Sırasıyla İlk 1000 asal sayı tablosu

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129, 2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269, 2273, 2281, 2287, 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377, 2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423, 2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2579, 2591, 2593, 2609, 2617, 2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689, 2693, 2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741, 2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797, 2801, 2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897, 2903, 2909, 2917, 2927, 2939, 2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999, 3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079, 3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217, 3221, 3229, 3251, 3253, 3257, 3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413, 3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3491, 3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559, 3571, 3581, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637, 3643, 3659, 3671, 3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719, 3727, 3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797, 3803, 3821, 3823, 3833, 3847, 3851, 3853, 3863, 3877, 3881, 3889, 3907, 3911, 3917, 3919, 3923, 3929, 3931, 3943, 3947, 3967, 3989, 4001, 4003, 4007, 4013, 4019, 4021, 4027, 4049, 4051, 4057, 4073, 4079, 4091, 4093, 4099, 4111, 4127, 4129, 4133, 4139, 4153, 4157, 4159, 4177, 4201, 4211, 4217, 4219, 4229, 4231, 4241, 4243, 4253, 4259, 4261, 4271, 4273, 4283, 4289, 4297, 4327, 4337, 4339, 4349, 4357, 4363, 4373, 4391, 4397, 4409, 4421, 4423, 4441, 4447, 4451, 4457, 4463, 4481, 4483, 4493, 4507, 4513, 4517, 4519, 4523, 4547, 4549, 4561, 4567, 4583, 4591, 4597, 4603, 4621, 4637, 4639, 4643, 4649, 4651, 4657, 4663, 4673, 4679, 4691, 4703, 4721, 4723, 4729, 4733, 4751, 4759, 4783, 4787, 4789, 4793, 4799, 4801, 4813, 4817, 4831, 4861, 4871, 4877, 4889, 4903, 4909, 4919, 4931, 4933, 4937, 4943, 4951, 4957, 4967, 4969, 4973, 4987, 4993, 4999, 5003, 5009, 5011, 5021, 5023, 5039, 5051, 5059, 5077, 5081, 5087, 5099, 5101, 5107, 5113, 5119, 5147, 5153, 5167, 5171, 5179, 5189, 5197, 5209, 5227, 5231, 5233, 5237, 5261, 5273, 5279, 5281, 5297, 5303, 5309, 5323, 5333, 5347, 5351, 5381, 5387, 5393, 5399, 5407, 5413, 5417, 5419, 5431, 5437, 5441, 5443, 5449, 5471, 5477, 5479, 5483, 5501, 5503, 5507, 5519, 5521, 5527, 5531, 5557, 5563, 5569, 5573, 5581, 5591, 5623, 5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659, 5669, 5683, 5689, 5693, 5701, 5711, 5717, 5737, 5741, 5743, 5749, 5779, 5783, 5791, 5801, 5807, 5813, 5821, 5827, 5839, 5843, 5849, 5851, 5857, 5861, 5867, 5869, 5879, 5881, 5897, 5903, 5923, 5927, 5939, 5953, 5981, 5987, 6007, 6011, 6029, 6037, 6043, 6047, 6053, 6067, 6073, 6079, 6089, 6091, 6101, 6113, 6121, 6131, 6133, 6143, 6151, 6163, 6173, 6197, 6199, 6203, 6211, 6217, 6221, 6229, 6247, 6257, 6263, 6269, 6271, 6277, 6287, 6299, 6301, 6311, 6317, 6323, 6329, 6337, 6343, 6353, 6359, 6361, 6367, 6373, 6379, 6389, 6397, 6421, 6427, 6449, 6451, 6469, 6473, 6481, 6491, 6521, 6529, 6547, 6551, 6553, 6563, 6569, 6571, 6577, 6581, 6599, 6607, 6619, 6637, 6653, 6659, 6661, 6673, 6679, 6689, 6691, 6701, 6703, 6709, 6719, 6733, 6737, 6761, 6763, 6779, 6781, 6791, 6793, 6803, 6823, 6827, 6829, 6833, 6841, 6857, 6863, 6869, 6871, 6883, 6899, 6907, 6911, 6917, 6947, 6949, 6959, 6961, 6967, 6971, 6977, 6983, 6991, 6997, 7001, 7013, 7019, 7027, 7039, 7043, 7057, 7069, 7079, 7103, 7109, 7121, 7127, 7129, 7151, 7159, 7177, 7187, 7193, 7207, 7211, 7213, 7219, 7229, 7237, 7243, 7247, 7253, 7283, 7297, 7307, 7309, 7321, 7331, 7333, 7349, 7351, 7369, 7393, 7411, 7417, 7433, 7451, 7457, 7459, 7477, 7481, 7487, 7489, 7499, 7507, 7517, 7523, 7529, 7537, 7541, 7547, 7549, 7559, 7561, 7573, 7577, 7583, 7589, 7591, 7603, 7607, 7621, 7639, 7643, 7649, 7669, 7673, 7681, 7687, 7691, 7699, 7703, 7717, 7723, 7727, 7741, 7753, 7757, 7759, 7789, 7793, 7817, 7823, 7829, 7841, 7853, 7867, 7873, 7877, 7879, 7883, 7901, 7907, 7919

[melike-ates (Melike Ateş)]

Asal sayı, yalnızca kendisi ve 1’e bölünebilen bir doğal sayıdır. Yani, asal sayılar yalnızca 1 ve kendisiyle tam bölünebilen sayılardır. Örneğin, 2, 3, 5, 7, 11 gibi sayılar asal sayılardır.

Asal sayıları anlamak için birkaç yöntem bulunmaktadır. İşte bunlardan bazıları:

1. Bölme Yöntemi: Bir sayının asal olup olmadığını kontrol etmek için, sayıyı küçük asal sayılara bölün. Eğer hiçbir asal sayıya bölünmezse, o zaman sayı asal sayıdır. Örneğin, 17 sayısını kontrol etmek için 2, 3, 5, ve 7’ye bölelim. Hiçbir asal sayıya tam bölünmediğinde, 17’nin asal olduğunu söyleyebiliriz.

2. Eratosthenes Yöntemi: Bu yöntemde, verilen bir üst sınıra kadar olan tüm asal sayıları bulabiliriz. İlk olarak, 2’den başlayarak tüm sayıları listeye ekleriz. Ardından, 2’nin tüm katlarını listeden çıkarırız. 3’ten başlayarak, listenin ilk elemanına uğramamış tüm sayıların katlarını çıkarırız. Bu işlemi listedeki tüm sayılar eleman olana kadar tekrarlarız. Geriye kalan tüm sayılar asal sayılardır.

3. Kök Yöntemi: Bir sayının asal olup olmadığını kontrol etmek için, sayının kareköküne kadar olan tüm sayılara bölelim. Eğer hiçbir sayıya tam bölünmezse, o zaman sayı asal sayıdır. Örneğin, 29 sayısı için karekökü 5.38’dir, bu yüzden 2, 3, 4 ve 5’e bölelim. Hiçbir sayıya tam bölünmeden geriye kaldığında, 29’un asal olduğunu söyleyebiliriz.

TERİMLER:

Asal Sayı: Sadece kendisi ve 1’e tam bölünebilen bir doğal sayı.

[serdar-yilmaz (Serdar Yılmaz)]

Asal Sayı Nedir?

Asal sayılar, yalnızca 1’e ve kendisine tam bölünebilen, 1’den büyük doğal sayılardır. Başka bir deyişle, yalnızca iki pozitif böleni (1 ve kendisi) olan pozitif tam sayılardır.

Asal Sayıların Özellikleri

• 1 asal sayı olarak kabul edilmez çünkü asal sayı tanımı 1’den farklı iki bölen gerektirir.
• En küçük asal sayı 2’dir ve aynı zamanda tek çift asal sayıdır.
• Asal sayılar sonsuz bir dizedir; yani ne kadar büyük bir sayıya ulaşırsak ulaşalım, ondan büyük asal sayılar bulunabilir.

Asal Sayı Nasıl Anlaşılır?

Bir sayının asal olup olmadığını anlamanın birkaç yolu vardır. Ancak, sayı büyüdükçe asallığını kontrol etmek zorlaşır.

Asal Sayı Testi

1. 2 ve 3’e Bölünme: En basit test, sayının 2 veya 3’e bölünüp bölünmediğini kontrol etmektir.
2. Kök Alma: Bir n sayısının asal olup olmadığını test etmek için, n’den küçük tüm asal sayılarla bölünme testi yapmak yerine, √n’ye kadar olan tüm asal sayılarla bölünme testi yapabiliriz. n sayısının karekökünden büyük bir asal sayı ile bölünüyorsa, bu bölümdeki daha küçük sayı √n’den küçük olur ve zaten kontrol edilmiş olur.
3. Divisibility Rules: Belirli bölünebilirlik kuralları, örneğin bir sayının son rakamının çift olup olmadığı veya toplamı 3’ün katlarına bölünüp bölünemeyeceği, asallığı hızlıca test etme imkanı verebilir.

Asallığı Belirleme Yöntemleri

• Deneme Bölme: En basit yöntem, sayıyı 2’den başlayıp kendisinden önceki tüm sayılara bölerek deneme yapmaktır. Ancak bu, çok zaman alır ve büyük sayılar için pratik değildir.
• Miller-Rabin Asallık Testi: Rastgelelik temelli bir testtir ve belirli bir olasılıkla sayının asal olup olmadığını söyler. Deterministik olmayan bir testtir.
• AKS Asallık Testi: Deterministik ve polinomsal zamanda asal sayıları tanıyan bir algoritmadır. Ancak pratikte Miller-Rabin’den çok daha yavaştır.

Hangi Sayılar Asal Sayıdır?

Örnekler

• 2: Yalnızca kendisi ve 1 ile bölünebilir ve en küçük asal sayıdır.
• 3: Yalnızca kendisi ve 1 ile bölünebilir.
• 5, 7, 11, 13, 17, 19: Bu sayılar da yalnızca 1 ve kendileriyle bölünebilen sayılar arasındadır.

Bir sayıyı rastgele ele aldığımızda ve asallığını kontrol etmek istediğimizde yukarıdaki test ve yöntemlerden birini kullanarak asal olup olmadığını belirleyebiliriz. Yine de büyük sayılar için daha gelişmiş algoritmalar ve matematiksel teoremleri uygulamak gerekebilir.

TERİMLER:

Doğal Sayılar: Pozitif tam sayılar ve sıfır.
Bölen: Bir sayıyı tam olarak bölen sayıya denir.
Deterministik Test: Sonuçları şansa bağlı olmayan test yöntemi.
Miller-Rabin Asallık Testi: Rastgele sayılar kullanılarak bir sayının asallığını test eden algoritma.
AKS Asallık Testi: Herhangi bir sayının asallığını polinomsal zamanda doğrulanabilecek algoritma.