D) 0
E) -1
- Sözel dilde:
“Her pozitif tam sayının karesi sıfırdan büyüktür.”
ifadesinin matematiksel sembolik dildeki ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) ∃x ∈ Z, x^2 > 0
B) ∃x ∈ Z^+, x^2 > 0
C) ∀x ∈ Z, x^2 < 0
D) ∀x ∈ Z^+, x^2 ≥ 0
E) ∀x ∈ Z^+, x^2 > 0
e
Genel açıklama: Görsel, matematiksel mantıkta niceleyicilerle yazılmış sembolik ifadeler üzerine bir çoktan seçmeli soruyu içeriyor; sözel bir önermenin (pozitif tam sayıların karelerinin sıfırdan büyük olması) sembolik karşılığını sormaktadır.
Doğru cevap: E seçeneği
Metin:
“Her pozitif tam sayının karesi sıfırdan büyüktür.”
Bunu sembolik dile şöyle çeviririz:
- “Her” → \forall (tümel niceleyici)
- “pozitif tam sayı” → x \in \mathbb{Z}^+
- “karesi sıfırdan büyüktür” → x^2 > 0
Hepsi birlikte:
\forall x \in \mathbb{Z}^+ ,\ x^2 > 0
Bu da şıklarda E) \forall x \in \mathbb{Z}^+, x^2 > 0 ifadesine karşılık geliyor.
Neden diğerleri yanlış?
-
A) \exists x \in \mathbb{Z}, x^2 > 0
“Pozitif kareye sahip en az bir tamsayı vardır.” diyor. “Her pozitif tam sayı” demiyor.
-
B) \exists x \in \mathbb{Z}^+, x^2 > 0
“Pozitif kareye sahip en az bir pozitif tamsayı vardır.” Yine “her” değil, sadece “bazı”.
-
C) \forall x \in \mathbb{Z}, x^2 = 0
“Her tamsayının karesi sıfıra eşittir.” Bu hem yanlış hem de verilen cümlenin anlamından tamamen farklı.
-
D) \forall x \in \mathbb{Z}^+, x^2 \ge 0
“Her pozitif tamsayının karesi sıfıra eşittir veya büyüktür.”
Verilen sözlü cümlede ise “büyüktür” denmiş, “eşit veya büyük” değil. Arada anlam farkı var; x^2 \ge 0 ifadesi x = 0 için de geçerli olurdu, ama cümle sadece pozitif tam sayılardan bahsediyor ve sıkı (kesin) büyüklük koşulu veriyor.
Bu yüzden tam ve doğru karşılık E şıkkı.
TERİMLER:
\mathbb{Z} : Bütün tamsayılar kümesi (…, -2,-1,0,1,2,… ).
\mathbb{Z}^+ : Pozitif tamsayılar kümesi ( 1,2,3,\dots ).
\forall : “Her, bütün” anlamına gelen tümel niceleyici.
\exists : “En az bir tane vardır” anlamına gelen varlık niceleyicisi.
