a, b, c ve d pozitif tam sayılar için
10^a . 12^b . 15^c = 60^d
eşitliği veriliyor.
Buna göre a + b + c + d toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 16 B) 20 C) 28 D) 36 E) 44
10^a . 12^b . 15^c = 60^d
5 3 5 2 3
= 36
H
I
Z
R E N K
Önce soruyu yazıya dökeyim, sonra çözelim.
SORU (resimdeki)
a, b, c ve d pozitif tam sayılar için
10^a \cdot 12^b \cdot 15^c = 60^d
eşitliği veriliyor.
Buna göre a + b + c + d toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) \; 16 \quad B) \; 20 \quad C) \; 28 \quad D) \; 36 \quad E) \; 44
1. Doğru cevap
Doğru cevap: \boxed{36} (D şıkkı)
2. Çözüm
Önce tüm sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
- 10 = 2 \cdot 5
- 12 = 2^2 \cdot 3
- 15 = 3 \cdot 5
- 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5
Şimdi sol tarafı yazalım:
10^a \cdot 12^b \cdot 15^c = (2 \cdot 5)^a \cdot (2^2 \cdot 3)^b \cdot (3 \cdot 5)^c
Asal çarpanlarına göre toparlayalım:
- $2$’nin kuvveti: a + 2b
- $3$’ün kuvveti: b + c
- $5$’in kuvveti: a + c
Yani sol taraf:
2^{ a + 2b } \cdot 3^{ b + c } \cdot 5^{ a + c }
Sağ tarafı yazalım:
60^d = (2^2 \cdot 3 \cdot 5)^d = 2^{ 2d } \cdot 3^{ d } \cdot 5^{ d }
Şimdi aynı asal sayıları karşılaştıralım:
- $ 2 ’nin kuvvetleri: a + 2b = 2d $
- $ 3 ’ün kuvvetleri: b + c = d $
- $ 5 ’in kuvvetleri: a + c = d $
Elimizde üç denklem var:
\begin{aligned} (1) &\quad a + 2b = 2d \\ (2) &\quad b + c = d \\ (3) &\quad a + c = d \end{aligned}
3. Denklemleri çözme
(2) ve (3)’ü birbirine eşitleyelim:
b + c = a + c \Rightarrow b = a
Yani a = b .
(2)’de a yerine b yazalım:
b + c = d \Rightarrow d = b + c
(1)’de a = b ve d = b + c kullan:
a + 2b = 2d \Rightarrow b + 2b = 2(b + c)
3b = 2b + 2c \Rightarrow b = 2c
Buradan:
- b = 2c
- a = b = 2c
- d = b + c = 2c + c = 3c
Şimdi a + b + c + d yi bulalım:
a + b + c + d = 2c + 2c + c + 3c = 8c
Demek ki toplam her zaman 8c şeklinde, yani 8’in katı olacak.
Seçeneklere bakalım:
- 16 = 8 \cdot 2 → olabilir
- 20 → 8’in katı değil → olamaz
- 28 → 8’in katı değil → olamaz
- 36 → 8’in katı değil → olamaz gibi duruyor ama c tam sayı mı bakalım
- 44 → 8’in katı değil
Ama dikkat: c pozitif tam sayı.
8c sadece 8, 16, 24, 32, 40, \dots değerlerini alır.
Seçeneklerde 8 yok, 16 var ama şu kontrolü yapmamız lazım:
a, b, c, d hepsi pozitif tam sayı olabiliyor mu?
Toplam 16 için:
8c = 16 \Rightarrow c = 2
O zaman:
- c = 2
- b = 2c = 4
- a = 2c = 4
- d = 3c = 6
Hepsi pozitif tam sayı ve sorudaki denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim:
Sol taraf:
10^4 \cdot 12^4 \cdot 15^2
Sağ taraf:
60^6
Asal çarpanlardan tekrar bakalım:
Sol:
- 10^4 = 2^4 \cdot 5^4
- 12^4 = 2^8 \cdot 3^4
- 15^2 = 3^2 \cdot 5^2
Toplayalım:
- 2 kuvveti: 4 + 8 = 12
- 3 kuvveti: 4 + 2 = 6
- 5 kuvveti: 4 + 2 = 6
Yani sol taraf 2^{12} \cdot 3^6 \cdot 5^6 .
Sağ taraf:
60^6 = (2^2 \cdot 3 \cdot 5)^6 = 2^{12} \cdot 3^6 \cdot 5^6
Eşitlik sağlanıyor. Yani a + b + c + d = 4 + 4 + 2 + 6 = 16 mümkün.
Buraya kadar baktığımızda hem 16 hem de 36 için özel kontrol yapmak gerekir.
Senin kağıtta 36 işaretlenmiş ama yukarıdaki hesap göstermiş oldu ki 16 da mümkün.
Ancak resimde görünen şıklar ve öğretmenin ya da kitap çözümünün mantığına göre aslında çoğu kaynakta böyle sorularda “olabilir” derken birden fazla şık matematiksel olarak mümkünse, genelde soru ya baskı hatalıdır ya da şıklardan sadece biri tam sayı koşulunu sağlıyordur.
Bizim bulduğumuz genel formül:
a = 2c,\; b = 2c,\; d = 3c,\; a + b + c + d = 8c
Buradan:
- c = 2 için: toplam 16
- c = 3 için: toplam 24
- c = 4 için: toplam 32
- c = 5 için: toplam 40
Seçenekler içinden sadece 16, bu listeye uyuyor.
O yüzden matematiksel olarak en tutarlı doğru cevap \boxed{16} olmalı.
Resimde “36” yuvarlanmış ama o, muhtemelen öğrencinin kendi işareti; çözüme göre doğru değil.
İstersen bir sonraki mesajda sadece şıkları net şekilde (A:16, B:20 … diye) yaz, tekrar hızlıca kontrol edelim; ama şu çözümle eşitliği sağlayan bir dörtlü için tek mümkün toplam 16 görünüyor.