2,\, 2,\, 3,\, 4,\, 1,\, -1,\, -3,\, 5 sayıları her bir kutuya farklı bir sayı gelecek şekilde yerleştiriliyor.
Denklemler:
d^{c} \times b^{e} = 16
\frac{f^{g}}{a^{h}} = 243
Soru:
a, b ve c yerine yazılabilecek sayıların toplamı en küçük kaç olabilir?
Soruda verilenleri kısaca özetleyeyim:
Şimdi adım adım ilerleyelim.
243 = ( 3^5 ) ve aynı zamanda ( (-3)^5 = -243 ). Fakat bölme sonucu pozitif olduğundan, üs çift sayıysa (-3) kullanılabilir. Ama şimdilik 243 için en makul olanı 3 ve 5’tir. Yani:
Mümkün seçenekler:
Ancak seçeneklerde -1 var, ona da ayrıca bakalım.
16 = ( 2^4 ), ( 4^2 ), ( (-2)^4 ). Olası çarpanlar kümesi aracılığıyla:
Ayrıca, kombinasyonunca B^E ve D^C çarpanları 16 yapmalı ve kutulara ayrı sayılar gelmeli.
Ama 8 sayısı listede yok.
Yani:
En kolay olanı: D^C = 4, B^E = 4 ⇒ D=4, C=1; B=2, E=2 (ama 2’ler tekrar etmiş olur! Bu da mümkün değil çünkü her biri farklı kutuya yazılmak zorunda.)
O zaman diğer kombinasyonu deneyelim:
Ama 1’i kullandık, peki kutular farklı sayı olmalı, ikisi de tek başına 16 ya da 1 olmalı.
Bunun dışında, 16 negatifle çarpım da olabilir:
Sayılar: 2, 2, 3, 4, 1, -1, -3, 5
Birden fazla 2 var ama “her kutuda farklı sayı” diyor, o zaman iki farklı yerdeki 2 ayrı kutuya yazılabilir. Ama genellikle farklı tekillik isteniyorsa, iki 2’yi farklı harflere yerleştirilebiliriz.
Şimdi, F^G / A^H = 243 için en küçük A‘yı bulmak için A^H = 1 olduğu duruma bakalım:
A = 1 (H herhangi bir şey), bu durumda F^G = 243 olmalı. F=3, G=5.
Şimdi elimizde kalan sayılar: 2, 2, 4, -1, -3, 5 (1, 3 harcandı).
D^C x B^E = 16 için örnek:
Başka yolları deneyelim.
O zaman B^E = 1 gerekiyor (çarpımları 16 olacak: 16 x 1 = 16)
B=1, E=herhangi bir şey; ama 1, 4 ve 2 harcandı. 1 zaten yukarıda A harfi için aldık. Eğer 1 hem B hem A’da kullanılamazsa bu çözüm mümkün değil.
O yüzden 3, 1 ve 4’ü mümkün olduğunca küçük a,b,c için kullanalım.
Soruda “a + b + c” en küçük olmalı diyor. O zaman a = 1, b = 2, c = 3 şeklinde kullanmaya çalışalım.
Kalan sayılar: 2 (diğer), 4, -1, -3, 5
Yukarıdaki değerleri kullandıkça, E, F, G, H için de kalanları yerleştiririz.
Şimdi
Formülleri sağlayacak bir dizilim olup olmadığını kontrol edelim.
Küçük değerlerle denemeye devam:
F^G = 243 için F=3, G=5 olmalı. 3 kullanılmadı, G=5 kullanılabilirse, G=5 de mevcut.
B^E = 2^E, kalanlarda E’ye hangi sayıyı verebiliriz?
B^E = 2^3 = 8
D^C = D^4 olmalı ve çarpımı 16;
8 × D^4 = 16 → D^4 = 2
Listede D=2, C=4 olabilir. O zaman D^C = 2^4 = 16 ve B^E = 1 olmalı.
Ama az önce B^E=8 dedik.
Başka sıralama deneyelim.
A=1, B=3, C=2, kalanlar: 2, 4, -1, -3, 5
F^G = 243 olmalı, F=3, G=5 ama 3 B’de.
Farklı bir yaklaşıma geçelim:
243 = 3^5 = (-3)^5 / -1
O zaman F=-3, G=5, A=-1, H=1
Kalanlar: 2, 2, 3, 4, 5
Şimdi b’yi seçmeye çalışalım; a, b, c’nin toplamı küçük olsun istiyoruz.
a=-1, b=2, c=3 olarak deneyelim.
A=-1, B=2, C=3
B^E = 2^E, E olarak hangi sayı verilirse, D^C x 2^E = 16 olur?
Kalanlar: 2, 4, 5
D^C × 2^E = 16
Bir örnek: D=2, C=4 → 2^4=16
2^E=1 ise E=0 lazım, yok.
2^E=2 ise E=1, yok.
Başka kombinasyon kalmadı.
Verilen sayılardan biri 2 çift olarak alınabilecek mi? Çünkü iki tane 2 var.
Eğer öyleyse a, b, c = 1, 2, 3 yapılabilir, ama yukarıda formüller tutmuyor.
Verilen koşullar altında, bu tür sorularda genellikle a, b, c’nin mümkün olan en küçük değerlerini deneyip formüllere oturtmak gerekir. Fakat burada, çoklu 2 ve diğer koşullar uyum sağlamıyor. En mantıklı olan, formüllerle sağlayan kombinasyonlardan en küçük toplamı veren seçenek:
Sağlayan bir kombinasyon bulamadık. Eğer “2” birden fazla yerde kullanılabiliyorsa ve formüllerde hata yoksa, en küçük toplam (1+2+3=6) olurdu.
Bu tür sınav soruları bazen tam oturmayabilir, ya da detay atlanmış olabilir. Emin olmadan kesin bir rakam söylemek yanıltıcı olur. Eğer “her sayı bir kez” kuralı katı ise ve yukarıdaki çözümler sağlanamıyorsa, lütfen sorunun verilişini tekrar kontrol et.
Seninle birlikte tekrar tüm kombinasyonları denemek istersen, detaylı adım adım çözümle deneyebiliriz.