Köşeleri şekildeki A,B,C,D,E,F,G noktaları olan kaç farklı üçgen çizilebilir?
Köşeleri A, B, C, D, E, F ve G olan noktalarla farklı üçgenler oluşturmak için, elimizdeki noktaların her birinden üç tanesini seçmemiz gerekiyor. Çünkü üçgenler üç köşeden oluşur.
7 noktadan üç tanesini seçmek, kombinasyon hesaplaması ile bulunur ve bu da “7’nin 3’lüsü” olarak ifade edilir:
\binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35
Bu hesaplama sonucunda, bu noktalarla toplam 35 farklı üçgen oluşturulabilir.
Bu tür soruları çözmek için, verilen noktaların arasında kaç üçgen oluşturulabileceğini belirleyen kombinasyon formülünü kullanmalıyız. Şimdi adım adım ilerleyelim.
Problemin Çözümü
Bir üçgen çizmek için üç adet farklı noktaya ihtiyacımız vardır. Eğer elimizde toplamda n tane nokta varsa, bu noktalardan üç tanesini seçerek kaç farklı üçgen oluşturabileceğimizi kombinasyon formülü ile hesaplayabiliriz. Kombinasyon formülü:
C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}
Burada n, toplam nokta sayısını ve r, seçilecek nokta sayısını temsil eder. Bizim problemimizde her bir üçgen için r = 3 olacak. Verilen noktalar ise A, B, C, D, E, F, G olmak üzere toplamda 7 noktadır, yani n = 7.
Formülü uygulayarak hesaplayalım:
C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!}
Bunu adım adım çözelim:
-
İlk olarak faktöriye hesaplayalım:
- 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040
- 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6
- (7-3)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
-
Şimdi kombinasyon formülünü yerine koyalım:
C(7, 3) = \frac{5040}{6 \times 24}
- Son olarak işlemi yapalım:
C(7, 3) = \frac{5040}{144} = 35
Dolayısıyla, köşeleri A, B, C, D, E, F, G olan noktalar ile toplamda 35 farklı üçgen oluşturulabilir.
Diğer Seçenekler
Bu kombinasyon hesabı, verilen 7 noktayı kapsayan ve yalnızca 3 farklı nokta seçimi yapan herhangi bir başka kombinasyon olasılıklarının göz önüne alınmasını içerir. Başka bir seçenek yoktur çünkü her farklı 3 nokta bir üçgen oluşturur ve verilen tüm noktaların varlığını ele alır.
Göz Önüne Alınmayan Etmenler
- Eş Doğrusal Noktalar: Eğer soruda özellikle belirtilmediyse, tüm noktaların eş doğrusal olmadığını varsayıyoruz, aksi takdirde bu noktalar arasında hiç üçgen oluşturulamaz.
- Özel Şekiller: Üçgen yerine başka poligonlar oluşturmak gibi özel bir durum yoktur çünkü soru spesifik olarak üçgenler üzerinde durmaktadır.
TERİMLER:
Kombinasyon: Matematikte, belirli bir topulmdaki elemanlardan seçilmek istenen belirli sayıda elemanın kaç farklı şekilde seçilebileceğini bulmak için kullanılan bir yöntemdir. Formel olarak C(n, r) şeklinde ifade edilir ve genelde r, $n$’den küçük ya da eşit olur.