8 kişilik bir öğrenci grubu düşünelim. Bu grup içerisinden bir başkan, bir başkan yardımcısı ve bir üye seçmek istiyoruz. Bu üç pozisyon için kaç farklı seçim yapabiliriz? Yani, her bir kişi için yalnızca bir pozisyon olduğunda ve aynı pozisyonu alabilecek birden çok kişi bulunduğunda, toplamda kaç farklı seçim kombinasyonu olabilir? Aynı kişinin farklı pozisyonlarda yer almasına izin verilmiyor.
Kombinatorik Problemleri
Bu tip problemler genellikle “kombinatorik” ya da “sayma problemleri” olarak anılır. Kombinatorik, olası düzenlemelerin, kombinasyonların veya permütasyonların sayısını öğrenmek için bir matematik dalıdır.
Belirttiğiniz problem özgül bir kombinatorik problemi olan “permütasyon” problemini içermektedir.
Permütasyon
Permütasyon, bir grup içerisinden belli sayıda elemanın sıralı bir şekilde seçilmesini inceler. Bu durumda, aynı elemanların tekrarlandığı durumlar farklı sayılır, çünkü elemanların sıralamasının önemi vardır.
Bu soruda 8 kişilik bir öğrenci grubundan bir başkan, bir başkan yardımcısı ve bir üye seçmek istiyoruz. Herhangi bir öğrenci grubu içerisinden 1 başkan, 1 başkan yardımcısı ve 1 genel üye seçildiğinde, her bir öğrencinin aldığı pozisyon önemlidir. Yani, bir öğrencinin başkan veya başkan yardımcısı olarak seçilmesi, üye olarak seçilmesinden farklıdır.
Bu durumu hesaplamak için “sıralı tümleşik” saymayı kullanırız, yani P(n,r) = n! / (n-r)!
Bu formülde:
- n, toplam eleman sayısıdır (bu durumda toplam öğrenci sayısı, yani 8),
- r, seçilen eleman sayısıdır (bu durumda 3 (başkan, başkan yardımcısı ve üye)),
- “!” işareti, faktöriyel işlemi ifade eder ve 1’den belirli bir sayıya kadar olan tam sayıların çarpımına denir (örneğin 5! = 54321 = 120).
Bu formülü kullanarak, cevap şu şekilde hesaplanabilir:
P(8,3) = 8! / (8-3)!
= 8*7*6 / (5*4*3*2*1) = 336
Dolayısıyla, verilen öğrenci grubundan bir başkan, bir başkan yardımcısı ve bir üye seçmenin 336 farklı yolu vardır.
TERİMLER:
Permütasyon: Bir grup içerisinden belli sayıda elemanın sıralı bir şekilde seçilmesi durumunu inceler.
Faktöriyel: Bir tam sayının 1’den kendisine kadar olan tüm tam sayıların çarpımıdır. Örneğin, 5 faktöriyel (5!) 12345 değerini verir, yani 120 eder.
Kombinatorik: Sayma problemlerini inceleyen matematik dalıdır. İlgili grupların olası düzenlemelerini, kombinasyonlarını veya permütasyonlarını belirlemeye yarar.
1 Beğeni