- Şekildeki çark saat yönünde 4 kez döndürülüyor. Her seferinde okun gösterdiği rakamlar soldan sağa doğru yazılarak dört basamaklı sayılar elde ediliyor.
8
1
2
3
4
5
6
7
0
Buna göre elde edilen sayıların kaç tanesinde farklı üç rakam kullanılmıştır?
A) 672 B) 1124 C) 1796 D) 2016 E) 2688
25261202
18
Genel açıklama: Görsel, bir çark üzerindeki 1’den 8’e kadar rakamlarla ilgili bir olasılık/olasılık sayma sorusunu içeriyor; çark 4 kez çevrilerek oluşan dört basamaklı sayılarda üç farklı rakam kullanılmış olanların sayısı soruluyor.
Doğru cevap: D) 2016.
Çözümün Özeti
Her bir döndürmede okun gösterebileceği 8 farklı rakam vardır, dolayısıyla elde edilebilecek dört basamaklı sayıların toplamı 8^4 'tür. Bu sayılardan tam olarak üç farklı rakam kullananların sayısını hesaplamak için önce 3 rakamı seçer, sonra bu 3 rakamı içerecek şekilde 4 basamaklı dizilerin sayısını sayarız. Sonuç: \binom{8}{3}\cdot 36 = 56\cdot 36 = \mathbf{2016} .
Detaylı Açıklama
- Adım 1 — Toplam olasılık: Her döndürmede okun gösterebileceği rakam sayısı 8 olduğundan tüm dört basamaklı dizilerin sayısı 8^4 = 4096 .
- Adım 2 — Hangi üç rakam kullanılacak?: Üç farklı rakamı seçmenin yolları \binom{8}{3} kadardır.
- Adım 3 — Seçilen bu 3 rakamla tam olarak 3 farklı rakam kullanan 4-haneli dizilerin sayısı:
- Seçilen 3 rakamla oluşturulabilecek tüm diziler 3^4 tanedir.
- Ancak bunların içinde yalnızca 1 veya 2 farklı rakam kullananları çıkarmamız gerekir. Dahil-etme/çıkarma ile:
3^4 - \binom{3}{1}2^4 + \binom{3}{2}1^4 = 81 - 3\cdot16 + 3\cdot1 = 36 .
- (Alternatif olarak: dört elemanın 3 kümeye bölünmesi için Stirling sayısı S(4,3)=6 ve bu kümeler arasındaki etiketlemeler 3! , dolayısıyla 3!\cdot S(4,3)=6\cdot6=36 .)
- Adım 4 — Toplam: \binom{8}{3}\cdot 36 = 56\cdot36 = 2016 .
Kısa Sonuç
Bu nedenle tam olarak üç farklı rakam içeren elde edilen dört basamaklı sayıların sayısı 2016’dır (şık D).
TERİMLER:
Dahil-etme/çıkarma: Bir kümede istenen özellikleri sağlayan eleman sayısını toplarken, çakışmaları düzeltmek için çıkarma/ekleme yöntemi.
Kombinasyon (\binom{n}{k}): Sırasız olarak n öğeden k tanesini seçme sayısı.
Stirling sayıları (ikinci tür): n öğeyi k boş olmayan kümeye bölen farklı yolların sayısı; örn. S(4,3)=6 .
Surjektif (Örtücü) fonksiyon: Görüntede her hedef eleman en az bir kez alınır; burada “her seçilen rakam en az bir kez kullanılsın” koşulunu ifade eder.
