√x-a ve √a-x gerçek sayı ise x=a’dır.
Aşağıdaki kartların üzerinde köklü sayılar yazılıdır:
- √x - 5
- ⁵√x + 1
- ³√x - 5
- √5 - x
- ³√7 - x
Soru: Bu kartlarda yazan köklü ifadelerin birer gerçek sayı belirtmesi için x yerine yazılabilecek sayıyı bulunuz.
Problem Çözümü
Bu tür bir sorunun çözümüne başlarken, hatırlanması gereken önemli bir ilke üssel ve karekök ifadelerinin tanım alanının reel sayıların pozitif alt kümesi olduğudur.
Bu nedenle, problemi çözerken, bu ilkelere uygun bir çözüm bulmamız gerekiyor. Şimdi her bir ifadenin ayrı ayrı inceleyelim.
√x - 5
Bu ifadenin gerçek olması için ilk kısıtlanması gereken şey x’in 5 veya daha büyük olmasıdır. Bunu x ≥ 5 olarak ifade ederiz.
5√x + 1
Bu ifadenin gerçek olması için x’in sıfır veya daha büyük olması gerekmektedir. Bunu x ≥ 0 olarak ifade ederiz.
3√x - 5
Bu ifadenin gerçek olması için x’in 5/3 veya daha büyük olması gerekmektedir. Bunu x ≥ 5/3 olarak ifade ederiz.
√5 - x:
Bu ifadenin gerçek olması için x, 5 veya daha küçük olması gerekmektedir. Bunu x ≤ 5 olarak ifade ederiz.
3√7 - x
Bu ifadenin gerçek olması için x, 7 veya daha küçük olması gerekmektedir. Bunu x ≤ 7 olarak ifade ederiz.
Bu ifadelerin hepsi kesiştiğinde (yani, tüm bu ifadeler aynı anda gerçek olabilirken en fazla değeri bulunabilir), x’in değeri 5 olacaktır.
Sonuç olarak, bu kartlarda yazan köklü ifadelerin birer gerçek sayı belirtmesi için x yerine yazılabilecek değer 5’tir.
TERİMLER:
Tanım Alanı: Bir fonksiyonun tanımlı olduğu sayı kümeleri. Bu ifadeler real sayılarda genellikle pozitifler ve sıfırlar olur.
Karekök: Bir sayının, karesi o sayıyı veren sayıya karekök denir. Karekök özelinde real sayılar için karekök tanımlama kısıtlaması pozitif sayılar ve sıfırdır.
Reel Sayılar: İçinde rasyonel ve irrasyonel sayıları (kesirli, tam, ondalıklı, köklü, π gibi) alan sayı kümesi.
Sıfır: Bir değerin hiç bulunmadığını ifade eden bir terim. 0 ile ifade edilir. Sıfır, çarpma ve toplama işlemlerinde nötr bir elemandır.
Köklü ifade: Karekök, küpkök gibi işlemleri barındıran ifadelere köklü ifade denir. Bu ifadeler tanım alanı pozitif sayılar ve sıfır olan reel sayılar kümeleri üzerinde tanımlanır.
Bu problemi çözmenin en iyi yolu, kartezyen bir düzlem üzerinde ifadelerin tanımlı oldukları bölgeleri görsel olarak incelemektir.
Kök İfadelerin Sağladığı Sınırlar
Köklü ifadelerin gerçek sayı olabilmesi için radikal ifadenin (kökün altında kalan sayının) pozitif veya sıfır olması gerekir. Yani √x - a ifadesinin gerçek bir sayı olabilmesi için x - a ifadesinin pozitif eşit veya sıfıra eşit olması gerekir, yani x ≥ a olmalıdır. Benzer şekilde √a - x ifadesinin de gerçek bir sayı olabilmesi için a - x ifadesinin pozitif eşit veya sıfıra eşit olması gerekir, yani x ≤ a olmalıdır.
√x - 5
Bu ifadenin gerçek bir sayı olabilmesi için x ≥ 5 olmalıdır.
⁵√x + 1
Bu ifadenin gerçek bir sayı olabilmesi için x ≥ -1 olmalıdır. Ama burada unutulmaması gereken, kök derecesi 5 olan radikal ifadelerin pozitif ve negatif tüm reel sayıları kapsadığıdır.
³√x - 5
Bu ifade 3. dereceden bir kök ise x’in her hangi bir değeri olabilir çünkü negatif sayıların küp kökü de tanımlıdır. Bu durumda x ∈ R olacaktır.
√5 - x
Bu ifadenin gerçek bir sayı olabilmesi için x ≤ 5 olmalıdır.
³√7 - x
Benzer şekilde, bu ifade de 3. dereceden bir kök olduğu için x’in herhangi bir değeri olabilir. Bu durumda x ∈ R olacaktır.
Tek bir X değeri için
Bu eşitsizlikleri birleştirdiğimizde (x ≥ 5 ve x ≤ 5), x’in sadece belirli bir değer alabileceğini görebiliriz. Bu değer x = 5’tir.
TERİMLER:
Radikal Ifade: Bir sayının kökünü almayı ifade eden matematiksel ifadelere radikal ifade denir.
Kartezyen Düzlem: İki sayısal değerin birbiriyle ilişkisini grafik üzerinde göstermeye yarayan bir düzlem.
Reel Sayılar: Matematikte reel sayılar, rasyonel sayılar ile irrasyonel sayıları içeren sayı sistemine verilen isimdir. Yani negatif sayılardan pozitif sayılara, sayı doğrusu üzerindeki tüm sayıları ifade eder.
Kök Derecesi: Radikal ifadelerin üs belirten sayılarına kök derecesi denir. Örneğin √x ifadesinde kök derecesi 2’dir, ³√x ifadesinde kök derecesi 3’tür.
x ∈ R: X’in tüm reel sayıları kapsadığını gösteren matematiksel bir semboldür. İngilizce’deki “is an element of” ifadesinin kısaltmasıdır ve “x, R setinin bir elemanıdır” anlamına gelir.
Eşitsizlik: İki sayısal ifadenin birbirine eşit olmadığını belirten matematiksel ifadelerdir. Eşitsizlik sembolleri genellikle <, >, ≤ ve ≥ şeklindedir.