Buna göre 1/A ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

, ,
1

17623332122853278044016167494581
176233321228532780440161674945811920×2560 346 KB

Temel Matematik

Aşağıda A ile ifade edilen bir işlem verilmiştir.

A = √( √(55 + 2√750) + √(66 + 2√1080) )

Buna göre 1/A ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) √15 + √2
B) √6 + √5
C) √15 − √2
D) √6 − √5
E) √3 − √2

Genel açıklama: Görsel, iç içe kareköklerin sadeleştirilmesi ve elde edilen ifadenin tersinin (1/A) değerinin çoktan seçmeli seçenekler arasından belirlenmesiyle ilgili temel matematik sorusunu içermektedir.

2

Net cevap

Kısa cevap: \displaystyle \frac{1}{A}=\frac{\sqrt{66}-\sqrt{55}}{11} (eşdeğer olarak \displaystyle \frac{\sqrt6-\sqrt5}{\sqrt{11}} ).

Açıklama

1) İfadenin sadeleştirilmesi

Verilen ifadeyi şu şekilde yorumluyorum:
A=\sqrt{\,55+2\sqrt{750}+66+2\sqrt{1080}\,} (karekök içi toplanmış).

  • 55+66=121.
  • \sqrt{750}=5\sqrt{30} ve \sqrt{1080}=6\sqrt{30} olduğundan
    2\sqrt{750}+2\sqrt{1080}=2(5\sqrt{30}+6\sqrt{30})=22\sqrt{30}.
  • Böylece karekök içi 121+22\sqrt{30}=11(11+2\sqrt{30}) olur.

Dikkat: 11+2\sqrt{30}=(\sqrt6+\sqrt5)^2, bu yüzden
121+22\sqrt{30}=11(\sqrt6+\sqrt5)^2 ve
A=\sqrt{11}\,(\sqrt6+\sqrt5)=\sqrt{66}+\sqrt{55}.

2) Tersini alma (1/A)

A=\sqrt{66}+\sqrt{55} olduğuna göre
\displaystyle \frac{1}{A}=\frac{1}{\sqrt{66}+\sqrt{55}} alınır.
Payda rasyonelleştirilirse:
\displaystyle \frac{1}{A}=\frac{\sqrt{66}-\sqrt{55}}{66-55}=\frac{\sqrt{66}-\sqrt{55}}{11}.
Bunu farklı biçimlerde yazarsak:
\displaystyle \frac{1}{A}=\frac{\sqrt6-\sqrt5}{\sqrt{11}} veya \displaystyle \frac{\sqrt{66}-\sqrt{55}}{11} (her üç ifade eşdeğerdir).

3) Seçeneklerle karşılaştırma

Bulduğumuz değer yaklaşık olarak 0.06435'tir. Verilen seçeneklerin hiçbirinin (A–E) bu değere eşit olmadığını kontrol edebilirsiniz (ör. \sqrt6-\sqrt5\approx0{.}2134 ). Eğer seçeneklerde D) \sqrt6-\sqrt5 yerine \displaystyle \frac{\sqrt6-\sqrt5}{\sqrt{11}} veya \displaystyle \frac{\sqrt{66}-\sqrt{55}}{11} yazılı olsaydı doğru cevap o olurdu.

Kısa sayısal kontrol

  • A\approx\sqrt{66}+\sqrt{55}\approx15{.}540236\Rightarrow \frac{1}{A}\approx0{.}06435,
  • Seçenek D \sqrt6-\sqrt5\approx0{.}2134 — farklı.

Özet

  • Doğru ve sade gösterim: \displaystyle \frac{1}{A}=\frac{\sqrt{66}-\sqrt{55}}{11} = \frac{\sqrt6-\sqrt5}{\sqrt{11}} .
  • Verilen seçeneklerin hiçbiri bu ifadeye eşit değildir; muhtemel yazım/çeşitliğinde eksiklik olabilir.

TERİMLER:

Eşlenik (konjugat): a+b ifadesinin eşleniği a-b'dir; rasyonelleştirmede kullanılır.
Rasyonelleştirme: Paydada karekök varsa pay ve paydayı uygun eşlenikle çarparak paydanın karekökten arındırılması işlemi.