Bu kesri sadeleştirirsek sonuç:
\dfrac{x^{12} - 1}{x^{9} + x^{6} + x^{3} + 1} = x^{3} - 1
eğer x^{3} \neq -1 (yani x^{3} + 1 \neq 0 ) ise.
Çözüm
Payı ve paydayı x^{3} cinsinden yazalım:
x^{12} - 1 = (x^{3})^{4} - 1^{4}
Bu, iki dördüncü kuvvetin farkı biçiminde:
a^{4} - b^{4} = (a^{2} - b^{2})(a^{2} + b^{2}) = (a - b)(a + b)(a^{2} + b^{2})
Burada a = x^{3}, b = 1 :
$ x^{12} - 1 = (x^{3} - 1)(x^{3} + 1)\bigl((x^{3})^{2} + 1\bigr)
= (x^{3} - 1)(x^{3} + 1)(x^{6} + 1) $
Paydayı da x^{3} cinsinden gruplayalım:
$ x^{9} + x^{6} + x^{3} + 1 = (x^{9} + x^{6}) + (x^{3} + 1)
= x^{6}(x^{3} + 1) + 1(x^{3} + 1)
= (x^{6} + 1)(x^{3} + 1) $
Şimdi kesri yazalım:
$ \dfrac{x^{12} - 1}{x^{9} + x^{6} + x^{3} + 1}
= \dfrac{(x^{3} - 1)(x^{3} + 1)(x^{6} + 1)}{(x^{6} + 1)(x^{3} + 1)} $
Ortak çarpanları sadeleştirince:
= x^{3} - 1
Burada sadeleştirdiğimiz çarpanlar x^{3} + 1 ve x^{6} + 1 olduğundan, tanım gereği:
- x^{3} + 1 \neq 0 \Rightarrow x^{3} \neq -1
- x^{6} + 1 \neq 0 \Rightarrow x^{6} \neq -1
olmalıdır.
TERMS
- Factorization: Çarpanlara ayırma
- Difference of powers: Kuvvetler farkı