\frac{25^x}{5^{-x} } = 125
Verilen denklemi çözerek ( x ) değerini bulalım: \frac{25^x}{5^{-x}} = 125
İlk olarak, 25 ve 125 sayılarını 5’in kuvvetleri olarak ifade edelim. Bilindiği üzere (25 = 5^2) ve (125 = 5^3). Denklemi bu şekilde yeniden yazabiliriz: \frac{(5^2)^x}{5^{-x}} = 5^3
Üslerin çarpımı olduğunda üsleri toplarız, bu yüzden denklem şu hale gelir: \frac{5^{2x}}{5^{-x}} = 5^3
Üslerle bölme işlemi yaparken, üsler çıkarılır: 5^{2x - (-x)} = 5^3
Bu ifadeyi daha da sadeleştirirsek, 5^{2x + x} = 5^3 ve 5^{3x} = 5^3 iki tarafın üsleri eşit olduğu için, 3x = 3
Buradan, x = 1 bulunur.
Bu değer, ( x = 1 ) olarak hesaplanmıştır. Bu sonucu doğrulamak için başlangıç denklemini ( x = 1 ) değeriyle kontrol edebiliriz:
\frac{25^1}{5^{-1}} = \frac{25}{\frac{1}{5}} = 25 \times 5 = 125
Görüldüğü gibi, hesap doğru çıkmaktadır. Dolayısıyla ( x ) değeri 1’dir.
Denklemi Çözme
Verilen denklem:
\frac{25^x}{5^{-x}} = 125
Bu denklem, hem 25 hem de 5^{-x}'in 5 tabanı cinsinden ifade edilebilmesi sayesinde çözülebilir.
- 25, 5'in 2'nci kuvvetine (yani 5^2) eşittir.
- 5^{-x} negatif üs kuralını kullanır: a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} (burada a sıfırdan farklı herhangi bir sayıdır). Bu nedenle, 5^{-x} = \dfrac{1}{5^x} olur.
Bu ifadeleri orijinal denklemde yerleştirelim:
\frac{5^2}{ \dfrac{1}{5^x}} = 125
Şimdi şu üs kuralını kullanarak denklemde değişiklik yapabiliriz: \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} (burada a sıfırdan farklı herhangi bir sayıdır).
Bu kuralı uyguladığımızda:
5^{2-(-x)} = 125
Üssü sadeleştirince:
5^{2+x} = 125
Biliyoruz ki 125 de 5^3'e (yani 5'in 3'üncü kuvvetine) eşittir. Bu nedenle, denklem:
5^{2+x} = 5^3
olur. Tabanlar aynı olduğu için (her ikisi de 5), denklemin doğru olması için üslerin de eşit olması gerekir.
Dolayısıyla:
2+x = 3
x’i çözmek için:
x = 3 - 2 = 1
Sonuç olarak, denklemin çözümü x = 1’dir.
