\frac{x^{12}-1}{x^9+x^6+x^3+1}=
The given expression can be simplified as follows:
\frac{x^{12}-1}{x^9+x^6+x^3+1} = x^3 - 1
as long as x^3 \ne \pm i (so that the denominator is not zero).
Çözüm
İlk olarak payı çarpanlara ayıralım:
x^{12} - 1 = (x^6 - 1)(x^6 + 1)
Ayrıca (x^6 - 1) ifadesi de:
x^6 - 1 = (x^3 - 1)(x^3 + 1)
Dolayısıyla:
x^{12} - 1 = (x^6 - 1)(x^6 + 1) = (x^3 - 1)(x^3 + 1)(x^6 + 1)
Şimdi paydayı inceleyelim:
x^9 + x^6 + x^3 + 1
Bunu gruplama yaparak yazabiliriz:
x^9 + x^6 + x^3 + 1 = (x^9 + x^6) + (x^3 + 1)
x^6 ortak çarpanını alalım:
x^9 + x^6 = x^6(x^3 + 1)
Böylece:
x^9 + x^6 + x^3 + 1 = x^6(x^3 + 1) + (x^3 + 1)
(x^3 + 1) ortak çarpanını alırsak:
x^9 + x^6 + x^3 + 1 = (x^3 + 1)(x^6 + 1)
Artık ifadeyi sadeleştirebiliriz:
\frac{x^{12}-1}{x^9+x^6+x^3+1} = \frac{(x^3 - 1)(x^3 + 1)(x^6 + 1)}{(x^3 + 1)(x^6 + 1)}
Burada (x^3 + 1) ve (x^6 + 1) ortak çarpanları sadeleşir:
= x^3 - 1
Ancak sadeleştirdiğimiz çarpanlar için payda sıfır olmamalıdır. Yani:
x^3 + 1 \ne 0 \Rightarrow x^3 \ne -1
x^6 + 1 \ne 0 \Rightarrow x^6 \ne -1 \Rightarrow x^3 \ne \pm i
Dolayısıyla sonuç:
\frac{x^{12}-1}{x^9+x^6+x^3+1} = x^3 - 1 \quad (x^3 \ne \pm i)
TERMS
- Gruplama ile çarpanlara ayırma: Bir polinomu iki veya daha fazla terim grubuna ayırıp her gruptan ortak çarpanı alarak çarpanlara ayırma yöntemi.
- Ortak çarpan: Hem payda hem payda yer alan ve sadeleştirme yapılabilen çarpan.