P(x) = x^{407} - x^{301} + 4x - 5 polinomunun x^3 + x ile bölümünden bölüm Q(x) ve kalan T(x) olduğuna göre, Q(1) + T(1) toplamı kaçtır?
Görüntüde verilen soruyu çözecek olursak:
Polinom ( P(x) = x^3 - x + 4x - 5 ), bu ifadeyi ( x^3 + x ) ile bölünce kalan ( T(x) ) ve bölüm ( Q(x) ) bulunmasını istiyor. ( x^3 + x ) ifadesi, ( P(x) ) ifadesinin derecesinden büyük olduğu için, bölme işleminden ( Q(x) = 0 ) ve ( T(x) = P(x) = x^3 - x + 4x - 5 ) sonucu çıkar.
Kalanın ( T(x) = x^3 + 3x - 5 ) olduğunu göz önünde bulundurarak,
( T(1) = 1^3 + 3\cdot1 - 5 = 1 + 3 - 5 = -1 )
Bölüm ( Q(x) ) sıfır olduğu için ( Q(1) = 0 ).
Toplamı:
[ Q(1) + T(1) = 0 - 1 = -1 ]
Dolayısıyla, ( Q(1) + T(1) ) toplamı (-1)'dir.
Polinom Bölme Algoritması
Polinom P(x)'i x^3 + x ile böldüğümüzde, bölüm Q(x) ve kalan T(x) olmak üzere:
P(x) = Q(x)(x^3 + x) + T(x)
denklemini elde ederiz.
Bu denklemi kullanarak T(x)'i bulmak için aşağıdaki adımları takip edebiliriz:
Adım 1: x^3 + x ile P(x)'i mümkün olduğunca çok kez çarpın. Her çarpımda, çıkan sonucu P(x)'ten çıkarın.
Adım 2: Durana kadar Adım 1’i tekrarlayın. Durma noktası, kalanın derecesi bölücünün derecesinden küçük veya ona eşit olduğunda gerçekleşir.
Adım 3: Elde edilen sonuç, Q(x) ve T(x)'i verecektir.
Örnek Çözüm
Bu adımları P(x) = x^{407} - x^{301} + 4x - 5 ve x^3 + x için uygularsak:
Adım 1:
x^{407} - x^{301} + 4x - 5 = x^{404}(x^3 + x) - x^{304} + 4x - 5
Adım 2:
x^{304}(x^3 + x) - x^{304} + 4x - 5 = x^{407} - x^{301} + 4x - 5
Görüyoruz ki, x^{304}(x^3 + x) terimi P(x)'ten tamamen çıkıyor. Bu nedenle, Q(x) = x^{304} ve T(x) = 4x - 5 kalıyor.
Q(1) + T(1) Hesaplama
Q(1) ve T(1) değerlerini bulmak için x’e 1 değerini veriyoruz:
Q(1) = 1^{304} = 1
T(1) = 4(1) - 5 = -1
Sonuç olarak, Q(1) + T(1) = 1 - 1 = \boxed{0}'dır.