Quelle est sa hauteur max et sa portée

, , , ,
1

Un canon situé sur une colline à 300m jette un objet à une vitesse de 600km/h. Il lance cet objet à un angle de -20°. Quelle est sa hauteur max et sa portée

2

Önce birimleri ve açıyı netleştirelim, sonra hesabı yapalım.

  • Colline (tepe) yüksekliği: 300 \ \text{m}
  • Vitesse initiale: 600 \ \text{km/h}
  • Angle de tir: -20^\circ (yani aşağı doğru 20°)

1. Birim dönüştürme

Hız \text{km/h} cinsinden verilmiş, biz \text{m/s} kullanacağız.

600 \ \text{km/h} = 600 \times \frac{1000}{3600} = \frac{600000}{3600} \approx 166{,}67 \ \text{m/s}

Yani:
v_0 \approx 166{,}67 \ \text{m/s}

Yer çekimi ivmesi (yaklaşık):
g = 9{,}81 \ \text{m/s}^2

2. Hız bileşenleri

Açı: -20^\circ yani yataydan 20° aşağı.

  • Yatay bileşen v_{0x} :
    v_{0x} = v_0 \cos(-20^\circ) = v_0 \cos(20^\circ)

  • Düşey bileşen v_{0y} (pozitif yukarı):
    v_{0y} = v_0 \sin(-20^\circ) = - v_0 \sin(20^\circ)

Yaklaşık değerler:
\cos(20^\circ) \approx 0{,}9397
\sin(20^\circ) \approx 0{,}3420

Hesaplayalım:

v_{0x} \approx 166{,}67 \times 0{,}9397 \approx 156{,}6 \ \text{m/s}

v_{0y} \approx - 166{,}67 \times 0{,}3420 \approx -57{,}0 \ \text{m/s}

Başlangıç yüksekliği:
y_0 = 300 \ \text{m}

3. Maksimum yükseklik

Dikkat: Cisim zaten aşağıya doğru fırlatılıyor ( v_{0y} < 0 ). Yani ilk andan itibaren sürekli alçalıyor, yukarıya doğru bir çıkış yapmıyor.

Dolayısıyla maksimum yükseklik:

  • Hareket başlar başlamaz, t = 0 anında,
  • Yükseklik: y_{\max} = 300 \ \text{m}

Yani:

  • Maksimum yükseklik: 300 \ \text{m}

4. Zemine çarpma anı (uçuş süresi)

Düşey hareket denklemi:

y(t) = y_0 + v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2

Yere düştüğünde y(t) = 0 :

0 = 300 - 57{,}0 \, t - \frac{1}{2} \cdot 9{,}81 \, t^2

0 = 300 - 57{,}0 t - 4{,}905 t^2

Daha standart yazalım:

-4{,}905 t^2 - 57{,}0 t + 300 = 0

Her tarafı -1 ile çarpalım:

4{,}905 t^2 + 57{,}0 t - 300 = 0

Bu bir ikinci derece denklem:
a = 4{,}905 , b = 57{,}0 , c = -300

Diskriminant:

\Delta = b^2 - 4ac = 57{,}0^2 - 4 \cdot 4{,}905 \cdot (-300)

57{,}0^2 = 3249

4 \cdot 4{,}905 \cdot 300 \approx 4 \cdot 1471{,}5 = 5886

\Delta = 3249 + 5886 = 9135

Karekök:

\sqrt{9135} \approx 95{,}6

Kökler:

t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-57{,}0 \pm 95{,}6}{2 \cdot 4{,}905}

İki çözümden pozitifi bizim için önemli:

t_1 = \frac{-57{,}0 + 95{,}6}{9{,}81} \approx \frac{38{,}6}{9{,}81} \approx 3{,}93 \ \text{s}

t_2 = \frac{-57{,}0 - 95{,}6}{9{,}81} < 0 (fiziksel olarak anlamsız)

Yani uçuş süresi:

  • Uçuş süresi: yaklaşık 3{,}9 \ \text{s}

5. Yatay menzil (portée)

Yatay hız sabittir (sürtünme yok):

x(t) = v_{0x} \, t

Yere düştüğü andaki yatay uzaklık:

x_{\max} = v_{0x} \cdot t_1 \approx 156{,}6 \times 3{,}93 \approx 615 \ \text{m}

Yani:

  • Yatay menzil (portée): yaklaşık 615 \ \text{m}

Sonuç (özet)

  • Maksimum yükseklik:
    H_{\max} = 300 \ \text{m}

  • Yatay menzil (portée):
    R \approx 615 \ \text{m}

TERİMLER:

Diskriminant ( \Delta ): İkinci derece denklemlerde \Delta = b^2 - 4ac ifadesi; köklerin sayısını ve tipini belirler.
İkinci derece denklem: Genel formu ax^2 + bx + c = 0 olan denklem.
Yatay bileşen ( v_{0x} ): Başlangıç hızının yatay eksen üzerindeki parçası.
Düşey bileşen ( v_{0y} ): Başlangıç hızının dikey eksen üzerindeki parçası.