Je réécris ton énoncé pour être clair :
D’un dessus d’une colline de 300\ \text{m} , on tire vers le haut avec un angle de 40^\circ .
Au sortir du canon, la vitesse du projectile est de 600\ \text{km/h} .
Calculer :
a) la hauteur maximale atteinte par rapport au bas de la falaise,
b) la portée du tir (distance horizontale jusqu’au sol en bas).
On néglige l’air et on prend g = 9{,}8\ \text{m/s}^2 .
1. Données et conversions
- Hauteur de la colline :
h_0 = 300\ \text{m}
- Vitesse initiale :
v_0 = 600\ \text{km/h}
Conversion en \text{m/s} :
600\ \text{km/h}
= 600 \times \frac{1000}{3600}\ \text{m/s}
= \frac{600\,000}{3600}
\approx 166{,}7\ \text{m/s}
- Angle : \theta = 40^\circ
Composantes de la vitesse :
v_{0x} = v_0 \cos 40^\circ,\quad v_{0y} = v_0 \sin 40^\circ
Numériquement ( \cos 40^\circ \approx 0{,}766,\ \sin 40^\circ \approx 0{,}643 ) :
v_{0x} \approx 166{,}7 \times 0{,}766 \approx 127{,}8\ \text{m/s}
v_{0y} \approx 166{,}7 \times 0{,}643 \approx 107{,}2\ \text{m/s}
a) Hauteur maximale par rapport au bas de la falaise
On part déjà de 300\ \text{m} au-dessus du sol, et le projectile monte encore d’une certaine hauteur \Delta h à cause de sa vitesse verticale v_{0y} .
La « bosse » verticale (par rapport au point de départ) est :
\Delta h = \frac{v_{0y}^2}{2g}
Donc la hauteur maximale par rapport au bas de la falaise est :
h_{\max} = h_0 + \Delta h
= h_0 + \frac{v_{0y}^2}{2g}
Calcul :
v_{0y}^2 \approx (107{,}2)^2 \approx 11\,497
\frac{v_{0y}^2}{2g}
= \frac{11\,497}{2 \times 9{,}8}
= \frac{11\,497}{19{,}6}
\approx 586{,}6\ \text{m}
Alors :
h_{\max} \approx 300 + 586{,}6 \approx 886{,}6\ \text{m}
Réponse a)
Hauteur maximale par rapport au bas de la falaise : environ 8{,}9 \times 10^2\ \text{m}
(on peut arrondir à 887\ \text{m} ).
b) Portée du tir (distance horizontale)
On cherche le temps T quand le projectile arrive au sol en bas : y = 0 (en prenant l’origine verticale au bas de la falaise).
Mouvement vertical :
y(t) = h_0 + v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2
Au sol : y(T) = 0 :
0 = 300 + 107{,}2\, T - 4{,}9\, T^2
On met tout du même côté :
4{,}9 T^2 - 107{,}2\, T - 300 = 0
On résout cette équation du 2ᵉ degré :
T = \frac{107{,}2 \pm \sqrt{(-107{,}2)^2 - 4 \cdot 4{,}9 \cdot (-300)}}{2 \cdot 4{,}9}
Calcul du discriminant :
\Delta = 107{,}2^2 + 4 \cdot 4{,}9 \cdot 300
107{,}2^2 \approx 11\,497,\quad
4 \cdot 4{,}9 \cdot 300 = 19{,}6 \cdot 300 = 5\,880
\Delta \approx 11\,497 + 5\,880 = 17\,377
\sqrt{\Delta} \approx 131{,}8
Donc :
T = \frac{107{,}2 \pm 131{,}8}{9{,}8}
On garde la solution positive :
T = \frac{107{,}2 + 131{,}8}{9{,}8}
= \frac{239}{9{,}8}
\approx 24{,}4\ \text{s}
Portée horizontale :
R = v_{0x} \, T
\approx 127{,}8 \times 24{,}4
\approx 3\,120\ \text{m}
(plus précisément autour de 3{,}1 \times 10^3\ \text{m} ).
Réponse b)
La portée du tir est d’environ 3{,}1\ \text{km} (environ 3\,100\ \text{m} ).
Résumé
- Hauteur maximale par rapport au bas de la falaise :
h_{\max} \approx 887\ \text{m}
- Portée (distance horizontale jusqu’au sol) :
R \approx 3{,}1\ \text{km}
Si tu veux, je peux aussi te montrer le schéma et les équations générales pour n’importe quelle hauteur initiale.
TERİMLER:
Composante horizontale / verticale: Bir hız vektörünün sırasıyla x (yatay) ve y (düşey) yönlerindeki parçaları.
Hauteur maximale: Cisim hareket boyunca ulaştığı en yüksek düşey konum.
Portée: Cisim yere inene kadar yatayda aldığı toplam mesafe.
