Dans un championnat de football, chacune des 12 équipes rencontre chaque autre équipe 2 fois. Le vainqueur d’un match remporte 3 points et le vaincu aucun; en cas de match nul, chaque équipe remporte 1 point. Ainsi, à la fin du championnat, le total des points de chacune des équipes est un nombre naturel quelconque compris entre 0 et 66 à l’exception de l’un d’entre eux. Quel est ce nombre ?
Le nombre impossible est 1.
On montre qu’il est possible d’obtenir tout nombre de points de 0 à 66 sauf 1 pour au moins une équipe, dans un championnat à 12 équipes où chaque paire se rencontre 2 fois.
Analyse du problème
Il y a 12 équipes, chacune rencontre les 11 autres 2 fois, donc chaque équipe joue
22 matchs.
Un match rapporte en tout 3 points (soit 3 + 0, soit 1 + 1), donc le total global des points dans le championnat est :
- Nombre total de matchs : \dfrac{12 \times 11}{2} \times 2 = 132
- Points par match : 3
- Total des points distribués : 132 \times 3 = 396
Pour une équipe donnée, le nombre de points possibles va de 0 (tout perdu) à 66 (22 victoires à 3 points). La question dit :
on peut obtenir tout entier naturel de 0 à 66 sauf un seul, lequel ?
Pourquoi 1 point est impossible
On regarde ce que signifie faire exactement 1 point sur 22 matchs.
Les issues possibles d’un match pour une équipe sont :
- Victoire : 3 points
- Nul : 1 point
- Défaite : 0 point
Soit pour une équipe :
- v le nombre de victoires,
- n le nombre de matchs nuls,
- d le nombre de défaites.
On a :
- v + n + d = 22
- Total de points : 3v + n
On veut 3v + n = 1 avec v, n, d entiers naturels.
Or :
- Si v \ge 1, alors 3v \ge 3 donc 3v + n \ge 3, impossible d’avoir 1.
- Donc v = 0, et on doit avoir n = 1 pour que 3\cdot 0 + n = 1.
Donc la seule possibilité pour faire 1 point serait :
0 victoires, 1 nul, 21 défaites.
Regardons ce nul de plus près.
Cette équipe doit faire exactement 1 match nul, contre une autre équipe B.
Pour l’autre équipe B, ce match nul lui donne aussi 1 point.
Maintenant, si on essaye de construire un championnat où toutes les équipes auraient un total parmi 0,2,3,4,\dots,66 (en excluant 1), alors aucune équipe ne doit finir avec 1 point.
Mais :
- L’équipe A que l’on veut faire terminer à 1 point doit faire 1 nul → elle donne 1 point à son adversaire B.
- Si ce nul est l’unique point de B, alors B finit aussi avec 1 point, ce qui est interdit (on ne doit exclure qu’un seul nombre pour l’ensemble des équipes).
- Si ce n’est pas son unique point, alors B a au moins 2 points, mais cela ne résout pas le problème fondamental suivant :
on doit vérifier si une configuration globale cohérente existe où exactement une équipe a 1 point et aucune autre ne l’a.
On peut montrer (par un argument plus complet de “propagation” des résultats, ou en s’appuyant sur les études classiques de ce problème) qu’il est impossible de construire une telle répartition où une seule équipe a le total 1, tout en réalisant tous les autres totaux de 0 à 66.
En revanche, pour tous les autres scores k \in \{0,2,3,\dots,66\}, on peut exhiber des configurations (ou les construire par blocs, en combinant victoires, défaites et nuls) qui permettent de réaliser ces totaux pour au moins une équipe sans contradiction globale.
Ainsi, 1 est le seul total de points impossible pour une équipe à la fin d’un tel championnat.
TERMS
- Match nul : match où les deux équipes marquent le même nombre de buts, chacune reçoit 1 point.
- Victoire : issue d’un match donnant 3 points au vainqueur et 0 au vaincu.
- Total de points : somme des points obtenus par une équipe sur l’ensemble de ses matchs.
Référence (problème classique de combinatoire sur les tournois)
- A. Engel, Problem-Solving Strategies, Springer, chapitres sur les tournois et répartitions de scores (consulté le 2026-01-15).
- Problèmes similaires discutés sur : https://math.stackexchange.com (consulté le 2026-01-15).