Calcul des termes d'une suite arithmétique donnée

LGS Hazırlık LGS Matematik
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Peux tu faire le deux et le trois et le 4 de l’exercice 1

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Suites arithmétiques et géométriques

Exercices

Exercice 1 : La suite (u_n) est une suite arithmétique de raison r = -0,4 et est telle que u_{27} = -8,7 .

  1. Calculer u_2 .
  2. Calculer le 22e terme u_{22} .
  3. Déterminer l’expression générale de la suite (u_n) .
  4. Exprimer u_n en fonction de n .
  5. Calculer S_{27} .

Exercice 2 : La suite (u_n) est une suite arithmétique telle que u_{1000} = 2026 et u_{2000} = 2036 .

  1. Calculer la raison de cette suite.
  2. Calculer le terme initial u_1 .
  3. Exprimer u_n en fonction de n .
  4. Déterminer le sens de variation de la suite (u_n) .

Exercice 3 : La suite (u_n) est une suite telle que u_4 = 10 et pour tout nombre entier naturel n , u_{n+1} = [illisible].

  1. Pour tout nombre entier naturel n , exprimer u_n en fonction de n .
  2. Calculer u_{2019} .
  3. Déterminer la plus petite valeur de n telle que u_n > 960 .

Exercice 4 : S = 7 + 10 + 13 + \cdots est la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique. Quel est le dernier terme de cette somme sachant que S = 920 ?

Résumé: La page propose des exercices sur les suites arithmétiques: calcul de termes (y compris u_{22} et u_{2019} ), détermination de la raison, expression générale u_n , étude du sens de variation, calcul d’une somme partielle S_{27} , et un problème où S = 7 + 10 + 13 + \cdots = 920 . Une relation de récurrence dans l’Exercice 3 comporte une partie illisible.

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Les questions 2, 3 et 4 de l’exercice 1 portent sur la suite arithmétique u_n de raison r = -0{,}4 et telle que u_7 = 8{,}7.

D’abord, on écrit l’expression générale de la suite (cela servira partout) :
u_n = u_7 + (n-7)\times r = 8{,}7 + (n-7)\times(-0{,}4)

On simplifie :
u_n = 8{,}7 - 0{,}4n + 2{,}8
u_n = 11{,}5 - 0{,}4n

2) Déterminer le terme initial u_0

On remplace n par 0 dans u_n :

u_0 = 11{,}5 - 0{,}4\times 0
u_0 = 11{,}5

3) La somme des 20 premiers termes de la suite

On doit calculer S_{20} = u_1 + u_2 + \dots + u_{20}.

Pour une suite arithmétique :
S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2}

On commence par trouver u_1 et u_{20}.

u_1 = 11{,}5 - 0{,}4\times 1 = 11{,}1

u_{20} = 11{,}5 - 0{,}4\times 20 = 11{,}5 - 8 = 3{,}5

Alors :
S_{20} = \dfrac{20(11{,}1 + 3{,}5)}{2}
S_{20} = \dfrac{20\times 14{,}6}{2}
S_{20} = 10\times 14{,}6
S_{20} = 146

4) Exprimer u_n en fonction de n

On a déjà trouvé la forme explicite :

u_n = 11{,}5 - 0{,}4n

TERMS

  • Raison d’une suite arithmétique : nombre ajouté à chaque fois pour passer d’un terme au suivant.
  • Terme initial u_0 : premier terme de la suite quand l’indice commence à 0.
  • Somme des n premiers termes : S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2} pour une suite arithmétique.

Source

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U27 est de -8,7

4

Non, u_{27} n’est pas -8{,}7 avec l’expression que tu utilises.

Avec u_n = 11{,}5 - 0{,}4n :

u_{27} = 11{,}5 - 0{,}4\times 27
u_{27} = 11{,}5 - 10{,}8
u_{27} = 0{,}7

Donc u_{27} = 0{,}7.

D’où vient l’erreur possible ?

Si tu as trouvé -8{,}7, tu as peut‑être confondu avec u_7 :

  • On sait que u_7 = 8{,}7 (positif).
  • La raison est r = -0{,}4, donc la suite décroît mais doucement.
  • En partant de u_7 = 8{,}7 et en soustrayant 0{,}4 à chaque fois, à n = 27 on n’a pas encore atteint les valeurs négatives très grandes.

Vérification rapide à partir de u_7 :

u_{27} = u_7 + (27-7)\times r = 8{,}7 + 20\times(-0{,}4)
u_{27} = 8{,}7 - 8
u_{27} = 0{,}7

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Tu as raison de montrer la photo : l’énoncé écrit bien

u_{27} = -8{,}7

et pas u_7 = 8{,}7 comme je l’avais cru au départ.
Donc il faut recommencer tout l’exercice 1 avec cette donnée‑là.

1. Expression générale de la suite

On a une suite arithmétique de raison r = -0{,}4 telle que u_{27} = -8{,}7.

Formule d’une suite arithmétique :
u_n = u_{27} + (n-27)\times r

Donc :
u_n = -8{,}7 + (n-27)\times(-0{,}4)
u_n = -8{,}7 -0{,}4n + 10{,}8
u_n = 2{,}1 - 0{,}4n

Cette fois, c’est la bonne expression.

2) Terme initial u_0

u_0 = 2{,}1 - 0{,}4\times 0
u_0 = 2{,}1

3) Somme des 20 premiers termes

On veut S_{20} = u_1 + u_2 + \dots + u_{20}.

On calcule d’abord u_1 et u_{20} avec la nouvelle formule.

u_1 = 2{,}1 - 0{,}4\times 1 = 1{,}7

u_{20} = 2{,}1 - 0{,}4\times 20 = 2{,}1 - 8 = -5{,}9

Formule de la somme d’une suite arithmétique :
S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2}

Donc :
S_{20} = \dfrac{20(1{,}7 + (-5{,}9))}{2}
S_{20} = \dfrac{20\times(-4{,}2)}{2}
S_{20} = 10\times(-4{,}2)
S_{20} = -42

4) u_n en fonction de n

On l’a déjà trouvé :

u_n = 2{,}1 - 0{,}4n

Si tu veux, on peut maintenant vérifier ensemble quelques termes (par exemple u_{27}, u_0, u_1) pour être sûre que tout est clair.

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Et l’exercice 3? Le sens de variation ? Et le 2 donner le 422 ème

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Pour l’instant, ton dernier message mélange plusieurs choses, donc je vais préciser exercice par exercice avec la bonne numérotation de l’énoncé.

Pour ton sujet, on avait :

  • Exercice 1 : suite u_n de raison r=-0{,}4 et u_{27}=-8{,}7
    → on a déjà fait u_0, S_{20} et l’expression u_n=2{,}1-0{,}4n.

Tu demandes maintenant :

  1. « Et l’exercice 3 ? Le sens de variation ? »
  2. « Et le 2 donner le 422e ? »

Je dois d’abord être sûre de ce que tu veux exactement, car :

  • Dans l’énoncé, c’est l’exercice 2 qui parle de « sens de variation de la suite u_n ».
  • L’exercice 3 a une relation de récurrence, mais elle est partiellement illisible sur la photo.
  • Pour l’exercice 2, tu parles du « 422e terme », donc je pense que tu veux u_{422} de l’exercice 2.

J’ai besoin de deux précisions pour continuer proprement :

  1. Confirme :
    • Veux‑tu que je fasse tout l’exercice 2 (raison, u_1, formule de u_n, sens de variation et u_{422}) ?
  2. Pour l’exercice 3, peux‑tu écrire ici clairement la relation :
    u_{n+1} = \dots
    (Sur la photo, on ne lit pas ce qui est écrit après le signe =.)

Dès que tu me précises ça, je te fais les calculs détaillés (y compris le 422e terme et le sens de variation) en suivant exactement ton énoncé.

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Fais le 3 mervii

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On ne voit pas la relation de récurrence de l’exercice 3 sur la photo, donc je vais proposer une version standard très probable et te montrer la méthode.
Si la formule de ton énoncé est différente, dis‑la moi et j’adapte tout.

Je vais supposer que l’énoncé est :

Suite (u_n) telle que u_4 = 10 et, pour tout entier naturel n ,
u_{n+1} = u_n + 4 .

Donc c’est une suite arithmétique de raison r = 4 .

1) Exprimer u_n en fonction de n

Formule d’une suite arithmétique :
u_n = u_p + (n-p)\times r pour n’importe quel indice p .

On connaît u_4 = 10 et r = 4 , donc :

u_n = u_4 + (n-4)\times 4
u_n = 10 + 4(n-4)
u_n = 10 + 4n - 16
u_n = 4n - 6

2) Calculer u_{2019}

On remplace n par 2019 dans u_n :

u_{2019} = 4\times 2019 - 6
u_{2019} = 8076 - 6
u_{2019} = 8070

3) Plus petite valeur de n telle que u_n > 960

On a u_n = 4n - 6 .
On résout l’inéquation :

4n - 6 > 960

4n > 960 + 6

4n > 966

n > \dfrac{966}{4}

n > 241{,}5

Le plus petit entier naturel strictement plus grand que 241{,}5 est 242 .

Donc la plus petite valeur de n telle que u_n > 960 est
n = 242 .

Si la vraie relation de ton exercice n’est pas
u_{n+1} = u_n + 4 , écris‑la exactement (par exemple u_{n+1} = 2u_n + 1 ou autre), et je referai tout le 3 avec la bonne formule.

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peux tu faire l’exercice 2

Exercices
arithmétiques et géométriques

Exercice 1: la suite (u_n) est une suite arithmétique de raison r = -0,4 et telle que u_{27} = -8,7 .

  1. Calculer u_{12} .
  2. Calculer le terme initial u_1 .
  3. Donner le sens de variation de la suite (u_n) .
  4. Exprimer u_n en fonction de n .
  5. Calculer S_{27} .

Exercice 2: la suite (u_n) est une suite arithmétique telle que u_{1000} = 2026 et u_{2000} = 2036 .

  1. Calculer la raison de cette suite.
  2. Calculer le terme initial u_1 .
  3. Exprimer u_n en fonction de n .
  4. Déterminer le sens de variation de la suite (u_n) .

Exercice 3: la suite (u_n) est telle que u_4 = 10 et

  1. Pour tout nombre entier naturel n , exprimer u_n en fonction de n .
  2. Calculer u_{2019} .
  3. Déterminer la plus petite valeur de n telle que u_n > 960 .

Résumé: Feuille d’exercices sur les suites arithmétiques. L’exercice 1 donne r = -0,4 et u_{27} = -8,7 et demande u_{12} , u_1 , le sens de variation, l’expression de u_n et la somme S_{27} . L’exercice 2 fournit u_{1000} = 2026 et u_{2000} = 2036 et demande la raison, u_1 , u_n et le sens de variation. L’exercice 3 indique u_4 = 10 puis demande d’exprimer u_n , de calculer u_{2019} et de trouver le plus petit n tel que u_n > 960 .

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On fait tout l’exercice 2 pas à pas.

On sait que (u_n) est une suite arithmétique telle que
u_{1000} = 2026 et u_{2000} = 2036 .

La formule générale d’une suite arithmétique est :
u_n = u_p + (n-p)\times r
où r est la raison.

1) Calculer la raison de cette suite

On passe de u_{1000} à u_{2000} en ajoutant 1000 fois la raison r :

u_{2000} = u_{1000} + 1000r

Donc :
2036 = 2026 + 1000r

2036 - 2026 = 1000r

10 = 1000r

r = \dfrac{10}{1000}

r = 0{,}01

2) Calculer le terme initial u_1

On part de u_{1000} et on remonte jusqu’à u_1 :

u_1 = u_{1000} + (1-1000)\times r

u_1 = 2026 + (-999)\times 0{,}01

u_1 = 2026 - 9{,}99

u_1 = 2016{,}01

3) Exprimer u_n en fonction de n

On utilise la formule d’une suite arithmétique avec u_1 :

u_n = u_1 + (n-1)\times r

u_n = 2016{,}01 + (n-1)\times 0{,}01

On peut simplifier :

u_n = 2016{,}01 + 0{,}01n - 0{,}01

u_n = 2016 + 0{,}01n

Donc l’expression explicite est :
u_n = 2016 + 0{,}01n

4) Déterminer le sens de variation de la suite (u_n)

La raison est r = 0{,}01 > 0.

Pour une suite arithmétique :

  • si r > 0 : la suite est croissante
  • si r < 0 : la suite est décroissante
  • si r = 0 : la suite est constante

Ici r = 0{,}01 donc la suite (u_n) est croissante.

Si tu veux, on peut maintenant calculer un terme particulier, par exemple u_{422}, avec la formule u_n = 2016 + 0{,}01n.

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lexercice 3 s’il te plaît merciiii

Exercice 1 : Soit (u_n) une suite arithmétique telle que u_{1000} = 2026 et u_{2000} = 2036.

Exercice 2 : La suite (u_n) est une suite arithmétique.

  1. Calculer la raison de cette suite.
  2. Calculer le terme initial de cette suite.
  3. Exprimer le terme général de la suite, u_n en fonction de n.
  4. Déterminer le sens de variation de la suite (u_n).
    (suite croissante car r > 0)

Exercice 3 : La suite (u_n) est telle que u_1 = 10 et pour tout nombre entier naturel n, u_{n+1} = u_n + 6.

  1. Pour tout nombre entier naturel n, exprimer u_n en fonction de n.
  2. Calculer u_{2019}.
  3. Déterminer la plus petite valeur de n telle que u_n > 960.

Exercice 4 : S = 7 + 10 + 13 + \cdots est la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique.
Quel est le dernier terme de cette somme sachant que S = 920?

Exercice 5 : La suite (u_n) est une suite géométrique de raison q = \tfrac{1}{2} et de terme initial u_1 = 16.
Exprimer u_n, en fonction de n puis calculer u_{48}.

Exercice 6 : Dire si les suites suivantes définies sur \mathbb{N}, sont des suites géométriques.
3^{n+1}

Résumé: La page contient une série d’exercices sur les suites arithmétiques et géométriques: calcul de la raison et du terme initial, expression du terme général, calcul d’un terme donné (par exemple u_{2019} et u_{48}), recherche d’un rang minimal satisfaisant u_n > 960, détermination d’un dernier terme d’une somme arithmétique avec S = 920, et identification de suites géométriques. Une note manuscrite indique que la suite est croissante si r > 0.

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Pour l’exercice 3, on lit maintenant clairement sur ta photo :

Suite (u_n) telle que
u_4 = 10 et, pour tout entier naturel n,
u_{n+1} = u_n + 6.

C’est donc une suite arithmétique de raison r = 6.

On répond aux trois questions.

La suite (u_n) est arithmétique de raison 6 et d’expression
u_n = 6n - 14, donc u_{2019} = 12100 et la plus petite valeur de n telle que u_n > 960 est n = 163.

1) Exprimer u_n en fonction de n

Formule d’une suite arithmétique :
u_n = u_p + (n-p)\times r.

On connaît u_4 = 10 et r = 6 :

u_n = u_4 + (n-4)\times 6

u_n = 10 + 6(n-4)

u_n = 10 + 6n - 24

u_n = 6n - 14.

Donc, pour tout entier naturel n :
u_n = 6n - 14.

2) Calculer u_{2019}

On remplace n par 2019 :

u_{2019} = 6\times 2019 - 14

u_{2019} = 12114 - 14

u_{2019} = 12100.

3) Plus petite valeur de n telle que u_n > 960

On part de u_n = 6n - 14.

On résout l’inéquation :
6n - 14 > 960

6n > 960 + 14

6n > 974

n > \dfrac{974}{6}

n > 162{,}3\overline{3}.

Le plus petit entier naturel strictement plus grand que 162{,}3\overline{3} est
n = 163.

Vérification rapide :

  • u_{163} = 6\times 163 - 14 = 978 - 14 = 964 > 960
  • u_{162} = 6\times 162 - 14 = 972 - 14 = 958 < 960

Donc la plus petite valeur de n telle que u_n > 960 est bien n = 163.

TERMS

  • Suite arithmétique : suite où on ajoute toujours le même nombre (la raison) pour passer d’un terme au suivant.
  • Raison : ici r = 6, car u_{n+1} = u_n + 6.
  • Expression explicite : formule qui donne directement u_n en fonction de n, ici u_n = 6n - 14.