Énoncé du 7°) (je le réécris pour être bien clair) :
On te donne
- \cos(a-b) = \dfrac{1}{3} avec \sin(a-b) < 0
- \sin b = - \dfrac{2}{3} avec \cos b > 0.
Calcule \sin a et \cos a.
1. Retrouver \sin(a-b) et le quadrant de (a-b)
On sait que
\cos(a-b) = \dfrac{1}{3}
Donc
\sin^2(a-b) = 1 - \cos^2(a-b) = 1 - \left( \dfrac{1}{3} \right)^2
= 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}
Donc
|\sin(a-b)| = \dfrac{\sqrt{8}}{3} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}
On te dit \sin(a-b) < 0, donc
\sin(a-b) = - \dfrac{2\sqrt{2}}{3}
2. Retrouver \cos b et le quadrant de b
On a
\sin b = - \dfrac{2}{3} et \cos b > 0.
Alors
\cos^2 b = 1 - \sin^2 b
= 1 - \left( -\dfrac{2}{3} \right)^2
= 1 - \dfrac{4}{9}
= \dfrac{5}{9}
Donc
|\cos b| = \dfrac{\sqrt{5}}{3}
Comme \cos b > 0, on prend
\cos b = \dfrac{\sqrt{5}}{3}
Remarque : \sin b < 0 et \cos b > 0 donc b est dans le 4e quadrant.
3. Utiliser les formules d’angle :
On connaît \sin(a-b), \cos(a-b), \sin b, \cos b.
On veut \sin a et \cos a.
On utilise :
-
\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b
-
\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b
Remplaçons toutes les valeurs :
-
\sin(a-b) = - \dfrac{2\sqrt{2}}{3}
$
- \dfrac{2\sqrt{2}}{3}
= \sin a \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{3} - \cos a \cdot \left( -\dfrac{2}{3} \right)
$
On simplifie par \dfrac{1}{3} :
-2\sqrt{2} = \sqrt{5} \, \sin a + 2 \cos a
\quad (1)
-
\cos(a-b) = \dfrac{1}{3}
\dfrac{1}{3}
= \cos a \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{3} + \sin a \cdot \left( -\dfrac{2}{3} \right)
Simplifions aussi par \dfrac{1}{3} :
1 = \sqrt{5} \, \cos a - 2 \sin a
\quad (2)
On doit résoudre le système :
\begin{cases}
\sqrt{5} \, \sin a + 2 \cos a = -2\sqrt{2} \\
-2 \sin a + \sqrt{5} \, \cos a = 1
\end{cases}
4. Résolution du système
Appelons x = \sin a et y = \cos a pour alléger l’écriture :
\begin{cases}
\sqrt{5} x + 2 y = -2\sqrt{2} \\
-2 x + \sqrt{5} y = 1
\end{cases}
Multiplions la première équation par 2 et la seconde par \sqrt{5} pour éliminer x :
1’)
2\sqrt{5} x + 4 y = -4\sqrt{2}
2’)
-2\sqrt{5} x + 5 y = \sqrt{5}
On additionne 1’) + 2’) :
(2\sqrt{5}x - 2\sqrt{5}x) + (4y + 5y) = -4\sqrt{2} + \sqrt{5}
9y = -4\sqrt{2} + \sqrt{5}
Donc
y = \cos a = \dfrac{-4\sqrt{2} + \sqrt{5}}{9}
Maintenant, trouvons x = \sin a avec (2) :
1 = \sqrt{5} y - 2x
2x = \sqrt{5} y - 1
Donc
x = \dfrac{\sqrt{5} \, y - 1}{2}
On remplace y :
x = \dfrac{\sqrt{5} \left( \dfrac{-4\sqrt{2} + \sqrt{5}}{9} \right) - 1}{2}
x = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{-4\sqrt{10} + 5}{9} - 1 \right)
= \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{-4\sqrt{10} + 5 - 9}{9} \right)
= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{-4\sqrt{10} - 4}{9}
x = \dfrac{-4(\sqrt{10} + 1)}{18}
= \dfrac{-2(\sqrt{10} + 1)}{9}
Donc
\sin a = - \dfrac{2(\sqrt{10} + 1)}{9}
5. Réponse finale
\boxed{ \sin a = - \dfrac{2(\sqrt{10} + 1)}{9} }
\boxed{ \cos a = \dfrac{\sqrt{5} - 4\sqrt{2}}{9} }
Tu peux vérifier que
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
en remplaçant ces valeurs (ça marche).
