Trigonometrik fonksiyonlar: açı dönüşümleri, toplam‑fark formülleri ve hesap makinesiz hesaplamalar için alıştırma/çalışma kağıdı

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Fais le 4 stp

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b) cos (90° + x) = -sin x
c) tan (a - b) = tan a - tan b
d) sin 50° . cos 10° + sin 10° . cos 50° = 0.5

2°) Sans recourir à la calculatrice, calcule tan 120° = -√3
a) en ramenant l’angle au premier quadrant, en utilisant les angles associés
b) en décomposant 120° en une somme ou une différence de deux angles trigonométriques sont connus
c) Que penses-tu d’une décomposition du type 120° = 90° + 30° ?

3°) Calcule, sans recourir à la calculatrice :
a) cos 15°
b) sin 75°
45° + 30°
c) tan 105°
60° + 45°
d) cos π/12
= cos 15°

4°) Simplifie en fonction des nombres trigonométriques du réel a :
cos (π/4 + a) - sin (a - 3π/4)

5°) Démontre que l’expression suivante s’exprime d’une manière simplifiée de x :
sin x + sin (x + 2π/3) + sin (x + 4π/3)

6°) Calcule les nombres trigonométriques de a + b et de a - b sachant que :
a) sin a = -1/2 et a ∈ [π, 3π/2]
cos b = √3/2 et b ∈ [3π/2, 2π]
b) sin a = 5/13 et a ∈ [-3π/2, -π]
tan b = -√3 et b ∈ [-π/2, π]

7°) On te donne cos (a - b) = 1/3 avec sin (a - b) < 0 et sin b = -2/3 avec cos …

Bu sayfa, trigonometrik fonksiyonların özellikleri, açılarla ilgili dönüşümler ve toplam-fark formülleri üzerine hesap makinesi kullanmadan yapılan hesaplamalar, sadeleştirmeler ve ispatlar içeren bir alıştırma/çalışma kağıdıdır.

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  1. On veut simplifier l’expression
    \sin \left( \dfrac{\pi}{4} + \alpha \right) - \sin \left(\alpha - \dfrac{\pi}{4}\right) .

1. Utilise les formules trigonométriques

On applique les formules de somme et différence de sinus :

\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B

\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B

Ici, on pose A = \alpha et B = \dfrac{\pi}{4} .

  • D’abord :
    \sin \left( \dfrac{\pi}{4} + \alpha \right) = \sin \alpha \cos \dfrac{\pi}{4} + \cos \alpha \sin \dfrac{\pi}{4}

  • Puis :
    \sin \left( \alpha - \dfrac{\pi}{4} \right) = \sin \alpha \cos \dfrac{\pi}{4} - \cos \alpha \sin \dfrac{\pi}{4}

2. Fais la différence des deux

\sin \left( \dfrac{\pi}{4} + \alpha \right) - \sin \left(\alpha - \dfrac{\pi}{4}\right)

= \left[ \sin \alpha \cos \dfrac{\pi}{4} + \cos \alpha \sin \dfrac{\pi}{4} \right] - \left[ \sin \alpha \cos \dfrac{\pi}{4} - \cos \alpha \sin \dfrac{\pi}{4} \right]

Les termes en \sin \alpha \cos \dfrac{\pi}{4} s’annulent :

= \cos \alpha \sin \dfrac{\pi}{4} + \cos \alpha \sin \dfrac{\pi}{4}

= 2 \cos \alpha \sin \dfrac{\pi}{4}

On sait que \sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} .

Donc :

2 \cos \alpha \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \cos \alpha

3. Résultat final

\boxed{ \sin \left( \dfrac{\pi}{4} + \alpha \right) - \sin \left(\alpha - \dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \cos \alpha }

TERİMLER:

Somme d’angles (formule de) : Trigonométrik fonksiyonların A + B veya A - B biçimindeki açılara uygulanmasını sağlayan formüller.
Sinus / Cosinus : Bir açının dik üçgendeki karşı kenar / komşu kenar oranını veren temel trigonometrik fonksiyonlar.

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Tu t’es trompé regarde bien

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3°) Calcule, sans recourir à la calculatrice.
a) cos 15°
b) sin 75°

4°) Simplifie en fonction de α :
cos (π/4 + α) − sin (α − 3π/4)

5°) Démontre que l’expression suivante ____ de x :
sin x + sin (x + 2π/3) + sin (x + 4π/3)

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Tu as raison, j’ai lu de travers l’énoncé.

Sur la photo, la question 4 est :

4°) Simplifie en fonction des nombres trigonométriques du réel \alpha :
\cos\left(\dfrac{\pi}{4} + \alpha\right) - \sin\left(\alpha - \dfrac{3\pi}{4}\right)

On va donc simplifier cette expression-là.

1. Développe chaque terme

Formules à utiliser :

  • \cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B
  • \sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B

a) \cos\left(\dfrac{\pi}{4} + \alpha\right)

\cos\left(\dfrac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos \dfrac{\pi}{4} \cos \alpha - \sin \dfrac{\pi}{4} \sin \alpha

On sait que \cos \dfrac{\pi}{4} = \sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} , donc :

\cos\left(\dfrac{\pi}{4} + \alpha\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha

b) \sin\left(\alpha - \dfrac{3\pi}{4}\right)

\sin\left(\alpha - \dfrac{3\pi}{4}\right) = \sin \alpha \cos \dfrac{3\pi}{4} - \cos \alpha \sin \dfrac{3\pi}{4}

Or
\cos \dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} et \sin \dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} .

Donc :

\sin\left(\alpha - \dfrac{3\pi}{4}\right) = \sin \alpha \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) - \cos \alpha \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)

= -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha

2. Fais la différence

On veut :

\cos\left(\dfrac{\pi}{4} + \alpha\right) - \sin\left(\alpha - \dfrac{3\pi}{4}\right)

On remplace par les expressions trouvées :

= \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha \right) - \left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha \right)

En enlevant les parenthèses :

= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha

Regroupe les termes en \cos \alpha et en \sin \alpha :

  • Pour \cos \alpha :
    \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha = \sqrt{2}\cos \alpha

  • Pour \sin \alpha :
    -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha = 0

Donc :

\cos\left(\dfrac{\pi}{4} + \alpha\right) - \sin\left(\alpha - \dfrac{3\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\cos \alpha

Résultat final

\boxed{ \cos\left(\dfrac{\pi}{4} + \alpha\right) - \sin\left(\alpha - \dfrac{3\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\cos \alpha }

TERİMLER:

Cosinus : Dik üçgende, açının komşu kenarının hipotenüse oranı; trigonometrik bir fonksiyon.
Formule d’addition (trigonométrie) : \sin(A\pm B) , \cos(A\pm B) gibi iki açının toplamı veya farkı için kullanılan standart formüller.
Sinus : Dik üçgende, açının karşı kenarının hipotenüse oranı; trigonometrik bir fonksiyon.