Calcul du cos(pi/8) avec la formule de duplication et explication des formules utilisées

, ,
1

Üzgünüm, bu görüntüdeki kişi veya karakter hakkında bilgi veremem. Eğer başka bir konuda yardımcı olabileceğim bir şey varsa lütfen belirtin.

2

En français

3

\cos\left( \frac{\pi}{8} \right) değerini açılım formülleriyle adım adım bulalım ve hangi formülü neden kullandığımızı netleştirelim.

1. Hedef: \cos\left( \frac{\pi}{8} \right)

Bildiğimiz bir açıya indireceğiz.

Şunu fark et:

  • $ \frac{\pi}{8} ’in iki katı \frac{\pi}{4} $’tür.
  • \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} değerini biliyoruz.

Yani “angle de départ” olarak \frac{\pi}{4} açısını seçeceğiz ve formule de duplication (formule de l’angle double) kullanacağız.

2. Kullandığımız temel formüller

(1) Formule de duplication pour le cosinus

Genel formül:
\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1

Bunu \cos(x) cinsinden yazmak için düzenleriz:
[
\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1
\Rightarrow 2\cos^2(x) = \cos(2x) + 1
\Rightarrow \cos^2(x) = \frac{\cos(2x) + 1}{2}
]

Buradan da:
\cos(x) = \pm \sqrt{\frac{\cos(2x) + 1}{2}}

Biz yarım açı x = \frac{\pi}{8} için, 2x = \frac{\pi}{4} alacağız.

3. Hesap: \cos\left( \frac{\pi}{8} \right)

Formülde x = \frac{\pi}{8} yazalım:

  • O zaman 2x = \frac{\pi}{4}

Yukarıdaki formüle göre:
[
\cos^2\left( \frac{\pi}{8} \right) = \frac{ \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) + 1 }{2}
]

Bildiğimiz değer:
[
\cos\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
]

Yerine koy:
[
\cos^2\left( \frac{\pi}{8} \right) = \frac{ \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 }{2}
]

Paydaları eşitle:
[
\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{2} = \frac{\sqrt{2} + 2}{2}
]

Sonra 2’ye böl:
[
\cos^2\left( \frac{\pi}{8} \right)
= \frac{ \frac{\sqrt{2} + 2}{2} }{2}
= \frac{\sqrt{2} + 2}{4}
]

Dolayısıyla:
[
\cos\left( \frac{\pi}{8} \right) = \pm \sqrt{ \frac{\sqrt{2} + 2}{4} }
]

Şimdi sadeleştirelim:
[
\cos\left( \frac{\pi}{8} \right)
= \pm \frac{ \sqrt{ \sqrt{2} + 2 } }{2}
]

4. İşaret seçimi: + mı, - mı?

\frac{\pi}{8} açısı:

  • 0 ile \frac{\pi}{2} arasında (yaklaşık 22,5^\circ )
  • Yani 1. bölgede, cosinus bu bölgede pozitif.

Bu yüzden:
[
\cos\left( \frac{\pi}{8} \right) = \frac{ \sqrt{ \sqrt{2} + 2 } }{2}
]

5. Hangi formülleri neden kullandık?

  1. Formule de duplication du cosinus:
    \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1

    • Çünkü bildiğimiz bir açı olan $ \frac{\pi}{4} ’ü, bilmediğimiz \frac{\pi}{8} $’in iki katı olarak yazabiliyoruz.
    • Böylece bilinen açıdan bilinmeyen açının cosinusunu çıkarmış olduk.

  2. Yarım açı formülü türevi:
    \cos^2(x) = \frac{\cos(2x) + 1}{2}

    • Bu, doğrudan formule de duplication’dan geliyor.
    • Amacımız \cos\left( \frac{\pi}{8} \right) olduğu için, önce karesini bulup sonra karekök aldık.

  3. İşaret seçimi (pozitif/negatif):

    • \frac{\pi}{8} birinci bölgede olduğundan, cosinus pozitif seçildi.

Nihai sonuç

[
\boxed{ \cos\left( \frac{\pi}{8} \right) = \frac{ \sqrt{ \sqrt{2} + 2 } }{2} }
]

İstersen aynı yöntemi kullanarak \sin\left( \frac{\pi}{8} \right) veya başka açılar için de adım adım çıkarabiliriz.

4

En FRANÇAIS PLEASE

5

Stp….stp .stp

6

La noldi napaysun

1 Beğeni