Calcule cos(pi/8) avec la formule de duplication et explique moi quelles formules tu utilises et pourquoi
Doğrudan cevabı yazıyorum, sonra hangi formülleri, neden kullandığımızı adım adım göstereceğim.
1. Sonuç
\cos\left( \frac{\pi}{8} \right) = \cos(22{,}5^\circ) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}
2. Hangi formülü kullanıyoruz? (Formule de duplication)
İstediğin gibi formule de duplication (açı iki katına çıkarma formülü) kullanacağız:
- Formule de duplication pour le cosinus
\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1
Bu formülü bilinen bir açıdan bilinmeyen bir açıyı bulmak için tersine kullanacağız.
Burada şunu fark ediyoruz:
2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4}
Yani:
- x = \frac{\pi}{8}
- 2x = \frac{\pi}{4}
\cos(\pi/4) değerini zaten biliyoruz, o yüzden bu açı iyi bir seçim.
3. Adım adım çözüm
3.1. Başlangıç: bilinen açı
Biliyoruz ki:
\cos\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
Formülü x = \frac{\pi}{8} için yazalım:
\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1
Buraya 2x = \frac{\pi}{4} koyarsak:
\cos\left( \frac{\pi}{4} \right) = 2\cos^2\left( \frac{\pi}{8} \right) - 1
Yani:
\frac{\sqrt{2}}{2} = 2\cos^2\left( \frac{\pi}{8} \right) - 1
3.2. $\cos^2(\pi/8)$’i yalnız bırakma
Denklemi düzenleyelim:
2\cos^2\left( \frac{\pi}{8} \right) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}
Her iki tarafı 2’ye bölelim:
\cos^2\left( \frac{\pi}{8} \right) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4}
Sağ tarafı ortak paydada yazalım:
\frac{1}{2} = \frac{2}{4}
O halde:
\cos^2\left( \frac{\pi}{8} \right) = \frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}
3.3. Kareköklü ifadeyi sadeleştirme
Şimdi karekök alıyoruz:
\cos\left( \frac{\pi}{8} \right) = \pm \sqrt{ \frac{2 + \sqrt{2}}{4} }
Karekökü ayıralım:
\sqrt{ \frac{2 + \sqrt{2}}{4} } = \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{ \sqrt{4} } = \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{2}
Peki artı mı, eksi mi?
- \frac{\pi}{8} = 22{,}5^\circ
- Bu açı birinci bölgede, dolayısıyla \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) > 0
Bu yüzden:
\cos\left( \frac{\pi}{8} \right) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}
4. Neden özellikle bu formüller?
Özetle:
-
Formule de duplication du cosinus kullandık:
\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1
Çünkü \cos(\pi/8) doğrudan bilinmiyor ama iki katı olan \cos(\pi/4) çok iyi bildiğimiz bir değer. -
2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} olduğu için:
- Sol tarafta \cos(\pi/4) yerine \frac{\sqrt{2}}{2} koyup,
- Sağ tarafta $ \cos(\pi/8) $’i bilinmeyen gibi düşünüp denklem çözdük.
-
Son aşamada işaret seçimi için trigonometrinin temel bilgisini kullandık:
- Birinci bölgede ( 0 < x < \frac{\pi}{2} ) kosinüs pozitiftir.
İstersen aynı yöntemi \sin(\pi/8) için de formule de duplication pour le sinus ile adım adım gösterebilirim.
En français
S’il te plaît merci beaucoup
Réponds s’il te plaît
@kompiter répondre
D’accord, je réécris tout en français, en expliquant bien les formules utilisées et pourquoi on les choisit.
1. Résultat à trouver
On veut calculer \cos\left( \frac{\pi}{8} \right) , c’est-à-dire \cos(22{,}5^\circ) .
Le résultat final est :
\cos\left( \frac{\pi}{8} \right) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}
2. Formule utilisée : formule de duplication pour le cosinus
Tu demandes d’utiliser la formule de duplication.
Pour le cosinus, elle est :
\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1
Idée principale :
On ne connaît pas bien \cos\left( \frac{\pi}{8} \right) ,
mais on sait que :
2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4}
Donc si on pose x = \frac{\pi}{8} , alors 2x = \frac{\pi}{4} ,
et \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) est une valeur connue.
3. Calcul pas à pas
3.1. Partir d’un angle connu
On sait que :
\cos\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
On applique la formule de duplication avec x = \frac{\pi}{8} :
\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1
En remplaçant 2x par \frac{\pi}{4} :
\cos\left( \frac{\pi}{4} \right) = 2\cos^2\left( \frac{\pi}{8} \right) - 1
Donc :
\frac{\sqrt{2}}{2} = 2\cos^2\left( \frac{\pi}{8} \right) - 1
3.2. Isoler \cos^2\left( \frac{\pi}{8} \right)
On réarrange l’égalité :
2\cos^2\left( \frac{\pi}{8} \right) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}
On divise par 2 :
\cos^2\left( \frac{\pi}{8} \right) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4}
On met tout sur le même dénominateur :
- \frac{1}{2} = \frac{2}{4}
Donc :
\cos^2\left( \frac{\pi}{8} \right) = \frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}
3.3. Prendre la racine carrée
On prend la racine des deux côtés :
\cos\left( \frac{\pi}{8} \right) = \pm \sqrt{ \frac{2 + \sqrt{2}}{4} }
On simplifie :
\sqrt{ \frac{2 + \sqrt{2}}{4} } = \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{ \sqrt{4} } = \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{2}
Donc :
\cos\left( \frac{\pi}{8} \right) = \pm \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{2}
Il reste à choisir le bon signe.
3.4. Choix du signe (+ ou −) ?
On remarque que :
\frac{\pi}{8} = 22{,}5^\circ
L’angle 22{,}5^\circ est dans le premier quadrant (entre 0^\circ et 90^\circ ),
et dans ce quadrant, le cosinus est positif.
Donc :
\cos\left( \frac{\pi}{8} \right) > 0
On garde donc le signe + :
\cos\left( \frac{\pi}{8} \right) = \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{2}
4. Pourquoi ces formules et pas d’autres ?
-
Formule de duplication du cosinus
\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1
On l’utilise parce qu’on veut \cos\left( \frac{\pi}{8} \right) ,
mais on connaît le cosinus du double :
2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} et
\cos\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} -
Ensuite, on transforme cette formule en équation où l’inconnue est \cos\left( \frac{\pi}{8} \right) .
On fait juste de l’algèbre pour isoler \cos^2\left( \frac{\pi}{8} \right) puis \cos\left( \frac{\pi}{8} \right) . -
Pour le signe, on utilise une propriété de base de la trigonométrie :
- dans le premier quadrant, sinus et cosinus sont positifs.
Si tu veux, je peux aussi te montrer la même démarche pour \sin\left( \frac{\pi}{8} \right) avec la formule de duplication du sinus.
TERIMES / TERMES :
Formule de duplication : formule qui relie la valeur d’une fonction trigonométrique en 2x à sa valeur en x (par exemple \cos(2x) en fonction de \cos(x) ).
Premier quadrant : intervalle d’angles entre 0 et \frac{\pi}{2} (ou entre 0^\circ et 90^\circ ) où sinus et cosinus sont positifs.