OK, on refait tout, mais sans passer directement par les angles en radians, juste avec ce qu’on sait sur le cercle trigonométrique.
On a pour la question 6 a) :
- \sin a = -\dfrac{1}{2} et a \in \left[ \pi, \dfrac{3\pi}{2} \right]
- \cos b = \dfrac{\sqrt{3}}{2} et b \in \left[ \dfrac{3\pi}{2}, 2\pi \right]
On doit trouver \sin(a+b), \cos(a+b), \sin(a-b), \cos(a-b) .
1. Trouver \sin a et \cos a géométriquement
On sait déjà \sin a = -\dfrac{1}{2} .
Regarde les valeurs usuelles de sinus :
- \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}
- donc \sin(-30^\circ) = -\dfrac{1}{2}
Sur le cercle :
- a \in [\pi, 3\pi/2] → c’est le 3ᵉ quadrant
→ dans ce quadrant : \sin < 0 et \cos < 0 .
L’angle dont le sinus vaut \dfrac{1}{2} en valeur absolue est lié à 30^\circ ;
dans le 3ᵉ quadrant, ça correspond à un angle de type 180^\circ + 30^\circ = 210^\circ .
Donc :
- a a la même “forme” que 210^\circ
- pour 210^\circ :
\sin = -\dfrac{1}{2} , \cos = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}
Donc tu peux retenir directement :
- \sin a = -\dfrac{1}{2}
- \cos a = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}
Même si tu ne dis pas " a = 7\pi/6 ", ce n’est pas grave : on a ce qu’il faut.
2. Trouver \sin b et \cos b
On sait \cos b = \dfrac{\sqrt{3}}{2} .
Valeurs usuelles :
- \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
Sur le cercle :
- b \in \left[ \dfrac{3\pi}{2}, 2\pi \right] → 4ᵉ quadrant
→ dans ce quadrant : \cos > 0 et \sin < 0 .
Donc on prend l’angle qui ressemble à 360^\circ - 30^\circ = 330^\circ .
Pour un angle de type 330^\circ :
- \cos = \dfrac{\sqrt{3}}{2} (positif)
- \sin = -\dfrac{1}{2} (négatif)
Donc :
- \cos b = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
- \sin b = -\dfrac{1}{2}
3. Formules d’addition (c’est là le vrai exercice)
On utilise :
- \cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b
- \sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
- \cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b
- \sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b
Et on remplace avec ce qu’on a trouvé.
3.1. Calcul de \cos(a+b)
\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b
On remplace :
\cos a = -\dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad
\cos b = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad
\sin a = -\dfrac{1}{2},\quad
\sin b = -\dfrac{1}{2}
Alors :
\cos(a+b)
= \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)
-\left(-\dfrac{1}{2}\right)\left(-\dfrac{1}{2}\right)
= -\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4}
= -1
Donc \cos(a+b) = -1 .
3.2. Calcul de \sin(a+b)
\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
Remplacement :
$
= \left(-\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)
- \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(-\dfrac{1}{2}\right)
$
= -\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}
= 0
Donc \sin(a+b) = 0 .
3.3. Calcul de \cos(a-b)
Formule :
\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b
Remplacement :
$
= \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)
- \left(-\dfrac{1}{2}\right)\left(-\dfrac{1}{2}\right)
$
= -\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}
= -\dfrac{1}{2}
Donc \cos(a-b) = -\dfrac{1}{2} .
3.4. Calcul de \sin(a-b)
Formule :
\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b
Remplacement :
$
= \left(-\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)
- \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(-\dfrac{1}{2}\right)
$
= -\dfrac{\sqrt{3}}{4} - \dfrac{\sqrt{3}}{4}
= -\dfrac{\sqrt{3}}{2}
Donc \sin(a-b) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} .
4. Résumé très simple (ce que tu écris en contrôle)
À partir de
\sin a = -\dfrac{1}{2} avec a dans le 3ᵉ quadrant
⇒ \cos a = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}
et
\cos b = \dfrac{\sqrt{3}}{2} avec b dans le 4ᵉ quadrant
⇒ \sin b = -\dfrac{1}{2} ,
on obtient :
- \cos(a+b) = -1
- \sin(a+b) = 0
- \cos(a-b) = -\dfrac{1}{2}
- \sin(a-b) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}
Si tu veux, tu peux m’envoyer ta méthode (ou une photo de ce que tu as fait), et je te dis exactement où ça bloque.
