Düşünüyorum...
Bu soruda trigonometrik ifadelerle ilgili 6 farklı problem görüyorum. Her bir problemi tek tek çözeceğim:S5: \frac{\sin80°}{\sin40°} ifadesinin eşitini bulalım.
Bu ifadeyi çözmek için bazı trigonometrik kimlikler kullanabiliriz. \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta formülünü hatırlayalım. Burada 80° = 2 \cdot 40° olduğunu fark edebiliriz. O halde:
\sin80° = \sin(2 \cdot 40°) = 2\sin40°\cos40°
Bunu kullanarak:
\frac{\sin80°}{\sin40°} = \frac{2\sin40°\cos40°}{\sin40°} = 2\cos40°
Yani \frac{\sin80°}{\sin40°} = 2\cos40°
S6: \cos(2\arccos\frac{1}{2}) ifadesinin değerini bulunuz.
Öncelikle \arccos\frac{1}{2} değerini bulalım. \cos\theta = \frac{1}{2} ise \theta = \frac{\pi}{3} = 60°.
O halde \cos(2\arccos\frac{1}{2}) = \cos(2 \cdot 60°) = \cos120°.
\cos120° = -\frac{1}{2}
Alternatif olarak, \cos(2\arccos x) = 2x^2-1 formülünü kullanabiliriz:
\cos(2\arccos\frac{1}{2}) = 2\cdot(\frac{1}{2})^2-1 = 2\cdot\frac{1}{4}-1 = \frac{1}{2}-1 = -\frac{1}{2}
Yani \cos(2\arccos\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}
S7: \cos x = \frac{1}{4} ise \cos 2x değerini bulalım.
\cos2x = \cos^2x - \sin^2x = 2\cos^2x - 1 formülünü kullanabiliriz.
\cos2x = 2\cos^2x - 1 = 2\cdot(\frac{1}{4})^2 - 1 = 2\cdot\frac{1}{16} - 1 = \frac{1}{8} - 1 = -\frac{7}{8}
Yani \cos2x = -\frac{7}{8}
S8: \frac{\sin3x}{\sin x} + \frac{\cos3x}{\cos x} = 1 olduğuna göre \cos^2 x kaçtır?
Bu problemi çözmek için \sin3x ve \cos3x formüllerini kullanmalıyız.
\sin3x = 3\sin x - 4\sin^3x
\cos3x = 4\cos^3x - 3\cos x
Bu formülleri yerine koyalım:
\frac{\sin3x}{\sin x} + \frac{\cos3x}{\cos x} = 1
\frac{3\sin x - 4\sin^3x}{\sin x} + \frac{4\cos^3x - 3\cos x}{\cos x} = 1
3 - 4\sin^2x + 4\cos^2x - 3 = 1
-4\sin^2x + 4\cos^2x = 1
-4(1-\cos^2x) + 4\cos^2x = 1 (Burada \sin^2x + \cos^2x = 1 kimliğini kullandık)
-4 + 4\cos^2x + 4\cos^2x = 1
8\cos^2x - 4 = 1
8\cos^2x = 5
\cos^2x = \frac{5}{8}
Yani \cos^2 x = \frac{5}{8}
S9: \frac{\cos20° - \sqrt{3} \cdot \sin20°}{\cos80°} işleminin sonucunu bulunuz.
Bu problemi çözmek için \cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B formülünü kullanabiliriz.
\cos20° - \sqrt{3} \cdot \sin20° = \cos20° - \sqrt{3} \cdot \sin20°
Bu ifade, \cos(20° + \theta) formuna benziyor, burada \tan\theta = \sqrt{3} olacak şekilde.
\tan\theta = \sqrt{3} ise \theta = 60° dir.
\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B kullanarak:
\cos(20° + 60°) = \cos20° \cos60° - \sin20° \sin60°
\cos80° = \cos20° \cdot \frac{1}{2} - \sin20° \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\cos80° = \frac{\cos20°}{2} - \frac{\sqrt{3}\sin20°}{2}
2\cos80° = \cos20° - \sqrt{3}\sin20°
Demek ki:
\cos20° - \sqrt{3}\sin20° = 2\cos80°
Şimdi orijinal ifadeyi değerlendirelim:
\frac{\cos20° - \sqrt{3} \cdot \sin20°}{\cos80°} = \frac{2\cos80°}{\cos80°} = 2
Yani \frac{\cos20° - \sqrt{3} \cdot \sin20°}{\cos80°} = 2
S10: \sin x = \sin \frac{4\pi}{3} denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
\sin fonksiyonu 2\pi periyodiktir ve \sin(\pi - \theta) = \sin\theta özelliğine sahiptir. Bu nedenle eğer \sin\alpha = \sin\beta ise, ya \alpha = \beta + 2n\pi ya da \alpha = (\pi - \beta) + 2n\pi olur, burada n bir tam sayıdır.
Önce \sin \frac{4\pi}{3} değerini hesaplayalım:
\frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3} olduğundan ve \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta olduğundan:
\sin \frac{4\pi}{3} = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}
O halde denklemimiz \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} olur.
\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} denkleminin genel çözümü:
- x = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi veya
- x = (\pi - \frac{4\pi}{3}) + 2n\pi = -\frac{\pi}{3} + 2n\pi = \frac{5\pi}{3} + 2n\pi
Buradan çözüm kümesi: x = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi veya x = \frac{5\pi}{3} + 2n\pi, burada n \in \mathbb{Z} (n bir tam sayı)
Ancak, tekrar kontrol etmeliyim çünkü \sin(\pi - \theta) = \sin\theta formülünü uygulamadım doğru şekilde.
Eğer \sin x = \sin \alpha ise, çözüm kümesi:
- x = \alpha + 2n\pi, n \in \mathbb{Z} veya
- x = (\pi - \alpha) + 2n\pi, n \in \mathbb{Z}
Bizim durumumuzda \alpha = \frac{4\pi}{3}, o halde:
- x = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi, n \in \mathbb{Z} veya
- x = (\pi - \frac{4\pi}{3}) + 2n\pi = (\pi - \frac{4\pi}{3}) + 2n\pi = -\frac{\pi}{3} + 2n\pi, n \in \mathbb{Z}
Ama -\frac{\pi}{3} + 2n\pi ifadesini daha iyi anlamak için n = 1 için değerini bulalım:
-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}
O halde -\frac{\pi}{3} + 2n\pi = \frac{5\pi}{3} + 2(n-1)\pi, bunu \frac{5\pi}{3} + 2m\pi, m \in \mathbb{Z} şeklinde yazabiliriz.
Sonuç olarak çözüm kümesi:
x = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi veya x = \frac{5\pi}{3} + 2m\pi, burada n, m \in \mathbb{Z}
Ya da daha kompakt şekilde:
x = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi veya x = \frac{5\pi}{3} + 2n\pi, burada n \in \mathbb{Z}
Trigonometrik İfadeler Çözümleri
S5: \frac{\sin80°}{\sin40°} ifadesinin eşitini bulalım.
80° = 2 \cdot 40° olduğunu fark edelim ve \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha formülünü kullanalım:
\frac{\sin80°}{\sin40°} = \frac{\sin(2 \cdot 40°)}{\sin40°} = \frac{2\sin40°\cos40°}{\sin40°} = 2\cos40°
Cevap: 2\cos40°
S6: \cos(2\arccos\frac{1}{2}) ifadesinin değerini bulunuz.
Bu ifadeyi iki yolla çözebiliriz:
1. Yöntem: Önce \arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} = 60° olduğunu bulalım.
Sonra: \cos(2\arccos\frac{1}{2}) = \cos(120°) = -\frac{1}{2}
2. Yöntem: \cos(2\arccos x) = 2x^2-1 formülünü doğrudan kullanalım:
\cos(2\arccos\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^2-1 = 2 \cdot \frac{1}{4}-1 = \frac{1}{2}-1 = -\frac{1}{2}
Cevap: -\frac{1}{2}
S7: \cos x = \frac{1}{4} ise \cos 2x değerini bulalım.
\cos2x = 2\cos^2x - 1 formülünü kullanalım:
\cos2x = 2(\frac{1}{4})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{1}{16} - 1 = \frac{1}{8} - 1 = -\frac{7}{8}
Cevap: -\frac{7}{8}
S8: \frac{\sin3x}{\sin x} + \frac{\cos3x}{\cos x} = 1 olduğuna göre \cos^2 x kaçtır?
\sin3x ve \cos3x açılımlarını kullanalım:
- \sin3x = 3\sin x - 4\sin^3x
- \cos3x = 4\cos^3x - 3\cos x
Bunları verilen denklemde yerine yazalım:
\frac{3\sin x - 4\sin^3x}{\sin x} + \frac{4\cos^3x - 3\cos x}{\cos x} = 1
3 - 4\sin^2x + 4\cos^2x - 3 = 1
-4\sin^2x + 4\cos^2x = 1
-4(1-\cos^2x) + 4\cos^2x = 1 (burada \sin^2x + \cos^2x = 1 kullandık)
-4 + 4\cos^2x + 4\cos^2x = 1
8\cos^2x = 5
\cos^2x = \frac{5}{8}
Cevap: \frac{5}{8}
S9: \frac{\cos20° - \sqrt{3} \cdot \sin20°}{\cos80°} işleminin sonucunu bulunuz.
Bu işlemi çözmek için pay kısmını \cos(A+B) formuna dönüştürelim:
\cos20° - \sqrt{3} \cdot \sin20° ifadesi \cos(20°+60°) formunu hatırlatır, çünkü:
\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B
\cos(20°+60°) = \cos20° \cdot \cos60° - \sin20° \cdot \sin60°
\cos80° = \cos20° \cdot \frac{1}{2} - \sin20° \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\cos80° = \frac{\cos20°}{2} - \frac{\sqrt{3}\sin20°}{2}
2\cos80° = \cos20° - \sqrt{3}\sin20°
Demek ki pay kısmı 2\cos80°'ye eşit:
\frac{\cos20° - \sqrt{3} \cdot \sin20°}{\cos80°} = \frac{2\cos80°}{\cos80°} = 2
Cevap: 2
S10: \sin x = \sin \frac{4\pi}{3} denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Önce \sin \frac{4\pi}{3} değerini bulalım:
\frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3} olduğundan ve \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta olduğundan:
\sin \frac{4\pi}{3} = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}
Denklem: \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}
Sinüs fonksiyonunun özellikleri gereği, eğer \sin x = \sin \alpha ise, çözüm kümesi:
- x = \alpha + 2n\pi, \; n \in \mathbb{Z} veya
- x = (\pi - \alpha) + 2m\pi, \; m \in \mathbb{Z}
Bizim durumumuzda \alpha = \frac{4\pi}{3}, o halde:
- x = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi, \; n \in \mathbb{Z}
- x = (\pi - \frac{4\pi}{3}) + 2m\pi = -\frac{\pi}{3} + 2m\pi = \frac{5\pi}{3} + 2(m-1)\pi, \; m \in \mathbb{Z}
Çözüm kümesi: \{x | x = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi \text{ veya } x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, \; n,k \in \mathbb{Z}\}
Yapay zeka model bilgileri
Model: Claude 3.5 Sonnet
Son Güncelleme: Nisan 2024