Cos3a + sin a + 2 cos a cos5a ifadesinin sadeleştirilmesi

, , ,
1

Cos3a+Visa+2cosa.cos5a

2

Verdiğin ifade biraz karışık ve muhtemelen yazım hatası var. Şöyle olduğunu tahmin ediyorum:

\cos 3\alpha + \cos \alpha + 2 \cos \alpha \cdot \cos 5\alpha

Eğer kastettiğin ifade buysa, bunu sadeleştirebiliriz.

1. Önce 2 \cos \alpha \cos 5\alpha kısmını açalım

Bilinen formül:
2 \cos x \cos y = \cos(x+y) + \cos(x-y)

Burada x = \alpha , y = 5\alpha alırsak:

2 \cos \alpha \cos 5\alpha = \cos(\alpha + 5\alpha) + \cos(\alpha - 5\alpha)

2 \cos \alpha \cos 5\alpha = \cos 6\alpha + \cos(-4\alpha)

\cos(-4\alpha) = \cos 4\alpha olduğundan:

2 \cos \alpha \cos 5\alpha = \cos 6\alpha + \cos 4\alpha

2. Hepsini bir araya getirelim

Başlangıç ifademiz (tahmini):

\cos 3\alpha + \cos \alpha + 2 \cos \alpha \cos 5\alpha

Yerine yazalım:

= \cos 3\alpha + \cos \alpha + \cos 6\alpha + \cos 4\alpha

Daha fazla özel bir sadeleşme genelde yok; bu haliyle dört kosinüslü bir toplam elde etmiş olduk.

Eğer senin yazmak istediğin ifade başka bir şeyse (örneğin \cos 3a + \cos a = 2\cos 2a \cos a gibi bir özdeşlik arıyorsan), lütfen ifadeyi:

  • Harfleri daha net yazarak
  • Gerekirse parantez kullanarak

yeniden yaz, ben de tam olarak istediğin özdeşliği kurayım veya denklemi çözeceğim.

3

Avec les formules de Simpson

4

Anladığım kadarıyla şunu yapmak istiyorsun:
Trigonometrik ifadeyi Simpson formülleriyle (yani toplama–çarpıma, çarpım–toplama formülleriyle) sadeleştirmek.

Senin yazdığın ifade muhtemelen şu:

\cos 3a + \cos a + 2 \cos a \cos 5a

Bunu Simpson formülleri kullanarak düzenleyelim.

1. Önce çarpımı formüle dönüştürelim

Formül:

2 \cos x \cos y = \cos(x+y) + \cos(x-y)

Burada x = a , y = 5a al:

2 \cos a \cos 5a = \cos(a+5a) + \cos(a-5a)

2 \cos a \cos 5a = \cos 6a + \cos(-4a)

\cos(-4a) = \cos 4a

Dolayısıyla:

2 \cos a \cos 5a = \cos 6a + \cos 4a

2. Bunu başlangıç ifadesine yerleştirelim

Başlangıç:

\cos 3a + \cos a + 2 \cos a \cos 5a

Yerine yaz:

= \cos 3a + \cos a + \cos 6a + \cos 4a

Simpson (toplama–çarpıma) formüllerini istersen burada da kullanabilirsin, örneğin:

\cos 3a + \cos a = 2 \cos 2a \cos a

Çünkü genel formül:

\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}

Burada x = 3a , y = a :

\cos 3a + \cos a = 2 \cos \frac{3a+a}{2} \cos \frac{3a-a}{2} = 2 \cos 2a \cos a

Aynı şekilde:

\cos 6a + \cos 4a = 2 \cos 5a \cos a

(çünkü x = 6a, y = 4a alırsak yarısı 5a ve a çıkar).

O zaman:

\cos 3a + \cos a + \cos 6a + \cos 4a = ( \cos 3a + \cos a ) + ( \cos 6a + \cos 4a )

= 2 \cos 2a \cos a + 2 \cos 5a \cos a

= 2 \cos a ( \cos 2a + \cos 5a )

İstersen bunu bir adım daha Simpson formülüyle açabilirsin:

\cos 2a + \cos 5a = 2 \cos \frac{2a+5a}{2} \cos \frac{2a-5a}{2} = 2 \cos \frac{7a}{2} \cos \left( -\frac{3a}{2} \right)

\cos \left( -\frac{3a}{2} \right) = \cos \frac{3a}{2}

Yani:

\cos 2a + \cos 5a = 2 \cos \frac{7a}{2} \cos \frac{3a}{2}

Sonuç:

\cos 3a + \cos a + 2 \cos a \cos 5a = 2 \cos a \cdot 2 \cos \frac{7a}{2} \cos \frac{3a}{2}

= 4 \cos a \cos \frac{7a}{2} \cos \frac{3a}{2}

Bu, Simpson formülleri kullanılarak elde edilen tam çarpanlı hali.

İstersen:

  • “Sadece şu kadara kadar sadeleştir”
  • Ya da “eşitliğin şu tarafa eşit olduğunu göster” (örneğin = 4 \cos a \cos \frac{7a}{2} \cos \frac{3a}{2} olduğunu ispatla gibi)

diye hedef ifadeyi de yaz, onu adım adım ispatlayabilirim.

Eğer ifade farklıysa, lütfen tam halini (parantezli, açıkça) tekrar yaz.