Cos(3x)+sinx=0
Kısa ve Net Cevap:
Denklemin çözümü:
x = \dfrac{2}{5}\pi + \dfrac{2}{5}k\pi ve x = 2\pi - \dfrac{2}{5}\pi + \dfrac{2}{5}k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} olacak şekilde iki kök vardır.
Detaylı Açıklama
Denklemi Çözme Adımları
Verilen denklem:
\cos(3x) + \sin{x} = 0
Adım 1: \cos(3x) terimini açalım
\cos(3x) = 1 - 4\sin^2{x} + 2\sin^3{x} veya şu şekilde de yazabiliriz:
\cos(3x) = 4\cos^3{x} - 3\cos{x}
Ama \sin{x} cinsinden yazmak denklemimizi çözmeyi kolaylaştırır.
Standart yöntemi kullanalım:
Denklemi yeniden yaz:
\cos(3x) = -\sin{x}
\cos(3x) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right)
O halde:
3x = \pm\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}
Şimdi iki durumu ayrı ayrı çözeceğiz:
1. Durum: 3x = \dfrac{\pi}{2} + x + 2k\pi
3x - x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \
2x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \
x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi
2. Durum: 3x = -\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) + 2k\pi
3x = -\dfrac{\pi}{2} - x + 2k\pi \
3x + x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \
4x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \
x = -\dfrac{\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{2}
Sonuçta:
Çözümler:
x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi
x = -\dfrac{\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}
Alternatif Doğrulama
İstersen iki çözümü de yerine yazıp doğrulayabilirsin:
- x = \frac{\pi}{4} için:
\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\cos(3\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
Toplamı 0.
Özet Tablo
| Kökler |
|---|
| x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi |
| x = -\dfrac{\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{2} |
TERİMLER:
k \in \mathbb{Z}: k herhangi bir tam sayıdır, yani ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... gibi.
Trigonometrik denklemler: İçinde sinüs (\sin), cosinüs (\cos) gibi fonksiyonlar bulunan, genellikle periyodik çözümleri olan denklemler.
Daha ayrıntı veya grafik istiyorsan, belirt!